En un polígono de $n$ lados ($n\geq 4$) se considera una familia $T$ de triángulos formados con los vértices del polígono con la propiedad de que cada dos triángulos de la familia cumplen una de las siguientes dos condiciones: (a) no tienen vértices en común, (b) tienen 2 vértices en común. Demuestra que $T$ tiene a lo más $n$ triángulos.

Sea $ABC$ un triangulo acutangulo, $\Gamma$ su cuircuncirculo y $O$ su circuncentro. Sea $F$ el punto en $AC$ tal que $\angle COF=\angle ACB$, donde $F$ y $B$ estan de lados opuestos respecto a $CO$. La recta $FO$ corta a $BC$ en $G$. La paralela a $BC$ por $A$ interseca a $\Gamma$ de nuevo en $M$. Las rectas $MG$ y $CO$ se cortan en $K$. Demuestra que los circuncirculos de los triangulos $BGK$ y $AOK$ concurren en $AB$.

Dada una coleccion de $n$ fichas que pueden estar pintadas de negro o blanco, tienen cada ficha un numero del $1$ al $n$ escrito. Un mago puede hacer los siguientes movimientos: elige $2$ fichas y convierte la ficha con el menor numero en una copia de la mayor (mismo color y numero).\nEl mago va a jugar haciendo estos movimientos hasta que ya no pueda hacer mas movimientos. \nSi consideras todas las maneras en que puede jugar y con los colores en que puede empezar, cuales son los posibles numeros de movimientos que puede hacer el mago?

Los numeros del $1$ al $2000$ se encuentran colocados sobre los vertices de un poligono regular de $2000$ lados, uno en cada vertice, de manera que se cumple lo siguiente: Si cuatro enteros $1\leq A<B<C<D\leq 2000$ entonces el segmento que uno los vertices donde estan los numeros $A$ y $B$, y el segmento que une los vertices donde estan $C$ y $D$ no se intersecan en el interior del poligono. \nDemuestra que existe un entero positivo que es un numero cuadrado perfecto tal que el numero dimetralmente opuesto a el no es un numero cuadrado perfecto.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo. Si $M$, $N$ y $K$ son los puntos medios de los segmentos $AB$, $BC$ y $CD$, respectivamente, y además existe un punto $P$ dentro del cuadrilátero $ABCD$ tal que $\measuredangle \, BPN = \measuredangle \, PAD$ y $\measuredangle \, CPN = \measuredangle \, PDA$, demuestre que $AB \cdot CD = 4PM \cdot PK$.

Determine todas las funciones $f \colon \mathbb{Z}^{+} \to \mathbb{Z}^{+}$ que satisfacen las dos condiciones siguientes para cualesquiera $m, n \in \mathbb{Z}^{+}$:\n\n1) $f(m+n) \mid f(m)+f(n)$\n2) $f(m)f(n) \mid f(mn).$\n

Encuentre todos los números enteros positivos de cuatro dígitos tales que la suma de los cuadrados de sus dígitos sea el doble que la suma de sus dígitos.

Hay $2023$ cuyos en un circulo de manera que todos menos uno, que nombraremos $M$, tienen un espejo apuntando a otro cuyo. $M$ tiene una linterna y la va a apuntar a otro cuyo. La luz al llegar a un cuyo se refleja por el espejo y llegara al cuyo al que apuntaba y esto seguira pasando cada ves que se refleje. Isaias va a redireccionar algunos de los espejos de manera que sin importar a que cuyo apunte $M$ el rayo de luz llegara de regreso a $M$. Cual es el menor numero de espejos que debe redireccionar Isaias de manera que no importa como estaban acomodados los espejos el rayo de luz siempre regrese a $M$?

Sea $ABCD$ un rombo con $\angle BAD=60^\circ$. Los puntos $F,G,H$ estan en $AD,DC$ y $AC$, respectivamente, tal que $DFGH$ es un paralelogramo. Demuestra que $BFH$ es equilatero.