Principio de casillas
Si se tienen $n$ o más objetos que se deben repartir en $m$ casillas, entonces debe haber al menos una casilla en donde se colocaron al menos $\left\lceil \frac{m}{n} \right\rceil$ objetos.
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Irish Mathematical Olympiad 1999 Problema 2
Muestra que existe un término positivo de la secuencia de Fibonacci que es divisible por 1000.
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Austrian–Polish Mathematics Competition 1980
"Sea $x_1,x_2,x_3,\dots$ una secuencia de enteros tal que \n\n (a) $1=x_1<x_2<x_3<\cdots$\n (b) $x_{n+1}\leq2n$ para todo $n=1,2,3,\dots$\n\nPruebe que todo entero positivo $k$ es igual a $x_i-x_j$ para algunos $i,j$."
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Problema de casillas
Dados $45$ enteros positivos distintos estrictamente menores que $99$, pruebe que dos de estos enteros positivos tienen suma igual a $99$.
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Problema de casillas
Dadon un entero positivo $k>1$. Pruebe que existe un primo $p$ y una secuencia estrictamente creciente de enteros positivos $a_1,a_2,\dots,a_n,\dots$ tales que los términos de la secuencia $$p+ka_1,p+ka_2,\dots,p+ka_n,\dots$$ Son todos números primos.
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USAMO 1976 Problema 1
(a) Suponga que cada casilla de un tablero de $4\times7$ está coloreada de blanco o negro. Demuestre que el tablero debe contener un rectángulo (formado por las líneas verticales y horizontales del tablero) tal que las cuatro casillas que conforman sus esquinas son todos del mismo color. (b) Exhibe una coloración blanco y negro de un tablero de $4\times6$ tal que las cuatro casillas que conforman las esquinas de cada rectángulo no son todas del mismo color.
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AHSME 1994 Problema 19
A cada uno de $1+2+\cdots+50=1275$ discos se etiquetan con un número de tal manera que hay un disco con el número 1, dos discos con el número 2, tres discos con el número 3, $\dots$, cincuenta discos con el número 50. Cada uno de estos discos se coloca en una caja. Luego se extraen discos al azar de la caja sin devolverlos. ¿Cuál es el menor número de discos que deben extraerse para asegurar que se han extraido al menos diez discos con la misma etiqueta?
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AMC 10A 2019 Problema 20
Los números $1,2,\dots,9$ se colocan aleatoriamente en los $9$ cuadrados de una cuadrícula de $3 \times 3$. En cada cuadrado se coloca un número y cada uno de los números se usa exactamente una vez. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los números de cada fila y de cada columna sea impar?
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AMC 10B 2011 Problema 11
Hay 52 personas en una habitación. ¿Cuál es el valos más grande de $n$ tal que la afirmación "Al menos $n$ personas en esta sala cumplen años el mismo mes" es siempre cierta?
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USAMO 2001 Problema 1
Cada una de ocho cajas contiene seis bolas. Cada bola ha sido coloreada con uno de $n$ colores, de modo que no haya dos bolas en la misma caja que sean del mismo color y que no haya dos colores juntos en más de una caja. Determine el menor entero $n$ para el cual esto es posible.
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