Se tienen $4n$ monedas que pesan $1, 2, 3, \ldots, 4n$. Cada moneda está coloreada con uno de $n$ colores, y hay cuatro monedas de cada color. Demuestra que todas estas monedas se pueden dividir en dos conjuntos con el mismo peso, de manera que cada conjunto contenga dos monedas de cada color.

Sea $p$ un número primo impar, definimos $N = \frac{p^3 - p}{4} -1 $. Los números $1, 2, \ldots, N$ son pintados arbitrariamente en dos colores, rojo y azul. Para cualquier entero positivo $n \leq N$, denotamos por $r_n$ a la fracción de enteros en $\{1, 2, \ldots, n\}$ que son rojos. Demuestra que existe un entero positivo $a \in \{1, 2, \ldots, p-1\}$ tal que $r_n \neq \frac{a}{p}$ para todo $n = 1, 2, \ldots, N$.

Los números de Fibonacci $F_0, F_1, F_2, \ldots$ se definen de manera inductiva por $F_0 = 0$, $F_1 = 1$, y $F_{n-1} = F_n + F_{n-2}$ para $n \geq 1$. Dado un entero $n \geq 2$, determina el tamaño más pequeño de un conjunto $S$ de enteros tal que para cada $k \geq 2$, existen $x, y \in S$ tales que $x-y = F_k$.

Sea $n$ un entero con $n \geq 2$. En una pendiente de una montaña, se marcan $n^2$ puntos de control numerados del $1$ al $n^2$ de abajo hacia arriba. Cada una de las dos compañías de teleférico, A y B, opera $k$ teleféricos numerados del $1$ al $k$; cada teleférico ofrece un traslado desde algún punto de control a uno superior. Para cada compañía, y para cualquier $i$ y $j$ con $1 \leq i \leq j \leq k$, el punto de inicio del teleférico $j$ está más arriba que el punto de inicio del teleférico $i$; de manera similar, el punto final del teleférico $j$ está más arriba que el punto final del teleférico $i$. Diremos que dos puntos de control están vinculados por alguna compañía si se puede partir del punto de control inferior y llegar al superior utilizando uno o más teleféricos de esa compañía (no se permite moverse a pie). Determina el valor más pequeño de $k$ para el cual podemos garantizar que existen dos puntos de control que están vinculados por ambas compañías.

En un $100$-agono regular, $41$ vértices están coloreados de negro y los $59$ vértices restantes están coloreados de blanco. Demuestra que existen $24$ cuadriláteros convexos $Q_1, Q_2, \ldots, Q_{24}$ cuyos vértices son vértices del $100$-agono, de manera que • los cuadriláteros $Q_1, Q_2, \ldots, Q_{24}$ son mutuamente disjuntos, y • cada cuadrilátero $Q_i$ tiene tres vértices de un color y un vértice del otro color.

Sea $n$ un entero positivo. Encuentra el número de permutaciones $a_1, a_2, \ldots, a_n$ de la secuencia $1, 2, \ldots, n$ que satisfacen \[ a_1 \leq 2a_2 \leq 3a_3 \leq \ldots \leq na_n. \]

Denota a $\mathbb{R}^+$ como el conjunto de los números reales positivos. Determina todas las funciones $f : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ que satisfacen, para todos los números reales positivos $x$ e $y$, \[ f(x + f\left(xy)\right) + y=f(x)f(y)+1. \]

Sean $n$ y $k$ enteros positivos. Demuestra que para $a_1, \ldots, a_n \in [1, 2^k]$ se cumple \[ \sum_{i=1}^{n} \frac{a_i}{\sqrt{a_1^2 + \ldots + a_i^2}} \leq 4\sqrt{kn}. \]

Determina todas las funciones $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ que satisfacen \[ f^{a^2 + b^2}(a+b) = af(a) + bf(b) \] para todos los enteros $a$ y $b$, donde $f^n(x)$ denota la $n$-ésima iteración de $f$, es decir, $f^0(x) = x$ y $f^{n+1}(x) = f(f^n(x))$ para todo $n \geq 0$.

Un mago tiene la intención de realizar el siguiente truco. Anuncia un entero positivo $n$, junto con $2n$ números reales $x_1 \leq \ldots \leq x_{2n}$, ante la audiencia. Un miembro de la audiencia luego elige en secreto un polinomio $P(x)$ de grado $n$ con coeficientes reales, calcula los $2n$ valores $P(x_1), \ldots, P(x_{2n})$, y anota estos valores en la pizarra en orden no decreciente. Después de eso, el mago anuncia el polinomio secreto a la audiencia. ¿Puede el mago encontrar una estrategia para realizar tal truco?