Sean $a$, $b$, $c$ y $d$ cuatro números reales tales que $a \geq b \geq c \geq d > 0$ y $a + b + c + d = 1$. Demuestra que \[ (a + 2b + 3c + 4d ) a^ab^bc^cd^d< 1. \]

Supongamos que $a$, $b$, $c$ y $d$ son números reales positivos que satisfacen $(a+c)(b+d)=ac+bd$. Encuentra el valor más pequeño posible de \[ \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{d} + \frac{d}{a}. \]

Denota a $\mathcal{A}$ como el conjunto de todos los polinomios en tres variables $x$, $y$ y $z$ con coeficientes enteros. Denota a $\mathcal{B}$ como el subconjunto de $A$ formado por todos los polinomios que pueden ser expresados como \[ (x + y + z)P(x, y, z) + (xy + yz + zx)Q(x, y, z) + xyzR(x, y, z) \] con $P$, $Q$, $R$ pertenecientes a $\mathcal{A}$. Encuentra el menor entero no negativo $n$ tal que $x^i y^j z^k \in \mathcal{B}$ para todos los enteros no negativos $i$, $j$ y $k$ que satisfacen $i + j + k \geq n$.

Sea $n$ un entero positivo, y $N = 2^n$. Determina el número real más pequeño $a_n$ tal que, para todo número real $x$, \[ \sqrt[N]{\left(\frac{x^{2N} + 1}{2}\right)} \leq a_n \left( x- 1\right)^2 + x. \] Version 2. Encuentra $b_N$ (generalizando $a_n$) para todo $N$.

Demuestra que $5^n - 3^n$ no es divisible por $2^n + 65$ para ningún entero positivo $n$.

Sea $k$ un entero positivo y $S$ un conjunto finito de números primos impares. Demuestra que hay a lo mucho una forma (modulo rotación y reflexión) de colocar los elementos de $S$ alrededor de un círculo tal que el producto de cualquier par de vecinos sea de la forma $x^2 + x + k$ para algún entero positivo $x$.

Sea $Q$ un conjunto de números primos, no necesariamente finito. Para un entero positivo $n$, considera su factorización en números primos; define $p(n)$ como la suma de todos los exponentes y $q(n)$ como la suma de los exponentes correspondientes solo a los primos en $Q$. Un entero positivo $n$ se llama especial si $p(n) + p(n+1)$ y $q(n) + q(n+1)$ son ambos números pares. Demuestra que existe una constante $c > 0$ independiente del conjunto $Q$ tal que para cualquier entero positivo $N > 100$, el número de enteros especiales en el conjunto $\{1, 2, \ldots, N\}$ es al menos $cN$. (Por ejemplo, si $Q = \{3, 7\}$, entonces $p(42) = 3$, $q(42) = 2$, $p(63) = 3$, $q(63) = 3$, $p(2022) = 3$, $q(2022) = 1$.)

Para cada $1 \leq i \leq 9$ y $T \in \mathbb{N}$, define $d_i(T)$ como el número total de veces que aparece el dígito $i$ cuando se escriben todos los múltiplos de $1829$ entre $1$ y $T$ (inclusive) en base 10. Demuestra que existen infinitos $T \in \mathbb{N}$ para los cuales hay exactamente dos valores distintos entre $d_1(T)$, $d_2(T)$, ..., $d_9(T)$.

Encuentra todas las ternas de enteros positivos $a$, $b$ y $p$, donde $p$ es primo y \[ a^p = b! + p. \]

Sea $a>1$ un entero positivo, y sea $d>1$ un entero positivo coprimo con $a$. Define $x_1 = 1$ y, para $k \geq 1$, define \[ x_{k+1} = \begin{cases} x_k + d & \text{si } a \text{ no divide } x_k, \\ \frac{x_k}{ a} & \text{si } a \text{ divide } x_k. \end{cases} \] Encuentra el entero positivo más grande $n$ para el cual existe un índice $k$ tal que $x_k$ es divisible por $a^n$.