Encuentra todos los enteros positivos $n>2$ ales que \[ n! \mid \prod_{\substack{p<q\leq n\\ p,q \text{ primos}}} (p+q) .\]

Un número se llama noruego si tres de sus divisores positivos distintos suman $2022$. Determina el número noruego más pequeño.

$AA'BCC'B'$ es un hexágono convexo cíclico tal que $AC$ es tangente a la incírculo del triángulo $A'B'C'$, y $A'C'$ es tangente al incírculo del triángulo $ABC$. Las líneas $AB$ y $A'B'$ se intersecan en $X$ y las líneas $BC$ y $B'C'$ se intersecan en $Y$. Demuestra que si $XBYB'$ es un cuadrilátero convexo, entonces tiene un incírculo.

Sean $ABC$ y $A'B'C'$ dos triángulos con el mismo circuncírculo $\omega$ y el mismo ortocentro $H$. $\Omega$ es el circumcírculo del triángulo determinado por las líneas $AA'$, $BB'$ y $CC'$. Demuestra que $H$, el centro de $\omega$, y el centro de $\Omega$ son colineales.

En un triángulo acutángulo $ABC$, el punto $H$ es el pie de la altura desde $A$. Sea $P$ un punto móvil tal que las bisectrices $k$ y $\ell$ de los ángulos $PBC$ y $PCB$, respectivamente, se intersecan en el segmento $AH$. $k$ interseca a $AC$ en $E$, y $\ell$ interseca a $AB$ en $F$, y $EF$ interseca a $AH$ en $Q$. Demuestra que, mientras $P$ varía, la línea $PQ$ pasa por un punto fijo.

Sea $ABC$ un triángulo, y sean $\ell_1$ y $\ell_2$ dos líneas paralelas. Para $i = 1, 2$, la linea $\ell_i$ interseca a las líneas $BC$, $CA$ y $AB$ en $X_i$, $Y_i$ y $Z_i$, respectivamente. Supongamos que la línea a través de $X_i$ perpendicular a $BC$, la línea a través de $Y_i$ perpendicular a $CA$, y finalmente la línea a través de $Z_i$ perpendicular a $AB$, determinan un triángulo no degenerado $\triangle_i$. Demuestra que los circuncírculos de $\triangle_1$ y $\triangle_2$ son tangentes entre sí.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AC > AB$, sea $O$ su circumcentro, y sea $D$ un punto en el segmento $BC$. La línea a través de $D$ perpendicular a $BC$ interseca las líneas $AO$, $AC$ y $AB$ en $W$, $X$ y $Y$, respectivamente. Los circuncírculos de los triángulos $AXY$ y $ABC$ se intersecan nuevamente en $Z\neq A$. Demuestra que si $OW = OD$, entonces $DZ$ es tangente al círculo $AXY$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico. Supongamos que los puntos $Q$, $A$, $B$, $P$ son colineales en este orden, de tal manera que la línea $AC$ es tangente al círculo $ADQ$ y la línea $BD$ es tangente al círculo $BCP$. Sean $M$ y $N$ los puntos medios de $BC$ y $AD$, respectivamente. Demuestra que las siguientes tres líneas son concurrentes: la línea $CD$, la tangente del círculo $ANQ$ por $A$, y la tangente al círculo $BMP$ por $B$.

En el triángulo acutángulo $ABC$, el punto $F$ es el pie de la altura desde $A$, y $P$ es un punto en el segmento $AF$. Las líneas a través de $P$ paralelas a $AC$ y $AB$ se intersecan con $BC$ en $D$ y $E$, respectivamente. Los puntos $X\neq A$ y $Y\neq A$ estan en los círculos $ABD$ y $ACE$, respectivamente, de manera que $DA = DX$ y $EA = EY$. Demuestra que $B$, $C$, $X$ y $Y$ son concíclicos.

Sea $ABCDE$ un pentágono convexo tal que $BC = DE$. Supongamos que hay un punto $T$ dentro de $ABCDE$ tal que $TB = TD$, $TC = TE$ y $\angle TBA = \angle AET$. Las líneas $CD$ y $CT$ intersecan a la línea $AB$ en los puntos $P$ y $Q$, respectivamente, y las líneas $CD$ y $DT$ intersecan a la línea $AE$ en los puntos $R$ y $S$, respectivamente. Supongamos que los puntos $P$, $B$, $A$, $Q$ y $R$, $E$, $A$, $S$ son respectivamente colineales y están en ese orden. Demuestra que los puntos $P$, $S$, $Q$ y $R$ son concíclicos.