Para un entero positivo $n$, denotamos por $s_p(n)$ la suma de los dígitos de $n$. Sea $P(x) = x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_0$ un polinomio, donde $n \geq 2$ y $a_i$ es un entero positivo para todo $0 \leq i \leq n - 1$. ¿Podría ser el caso que, para todos los enteros positivos $k$, se tiene que $s(k)$ y $s(P(k))$ tengan la misma paridad?

Sea $\mathbb{R}$ el conjunto de números reales. Denotamos por $\mathcal{F}$ al conjunto de todas las funciones $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que $$f(x + f(y)) = f(x) + f(y)$$ para cada $x, y \in \mathbb{R}$. Encuentra todos los números racionales $q$ tales que para cada función $f \in \mathcal{F}$, existe algún $z \in \mathbb{R}$ que satisface $f(z) = qz$.

Encuentra todos los enteros positivos $n \geq 2$ para los cuales existen $n$ números reales $a_1 < a_2 < \cdots < a_n$ y un número real $r > 0$ tal que las diferencias $a_j - a_i$ para $1 \leq i < j \leq n$ se pueden ordenar para que sean los números $r^1, r^2, \ldots, r^{\frac{n(n-1)}{2}}$.

Sea $n \geq 3$ un entero, y sean $x_1, x_2, \ldots, x_n$ números reales en el intervalo $[0, 1]$. Sea $s = x_1 + x_2 + \cdots + x_n$, y supón que $s \geq 3$. Demuestra que existen enteros $i$ y $j$ con $1 \leq i < j \leq n$ tales que $$2^{j - i} x_i x_j > 2^{s - 3}.$$

Sea $R^+$ el conjunto de números reales positivos. Encuentra todas las funciones $f : R^+ \to R^+$ tales que, para cada $x \in R^+$, existe un único $y \in R^+$ que satisface $$xf(y) + yf(x) \leq 2.$$

Sea $k \geq 2$ un entero. Encuentra el entero más pequeño $n \geq k + 1$ con la propiedad de que existe un conjunto de $n$ números reales distintos tal que cada uno de sus elementos pueda escribirse como la suma de $k$ otros elementos distintos del conjunto.

Sea $(a_n)_{n\geq 1}$ una secuencia de números reales positivos con la propiedad de que $$a_{n+1}^2 + a_n a_{n+2} \leq a_{n} + a_{n+2}$$\npara todos los enteros positivos $n$. Demuestra que $a_{2022} \leq 1$.

Para un polinomio $P(x)$ con coeficientes enteros, definimos $P^1(x) = P(x)$ y $P^{k+1}(x) = P(P^k(x))$ para $k \geq 1$. Encuentra todos los enteros positivos $n$ para los cuales existe un polinomio $P(x)$ con coeficientes enteros tal que para todo entero $m \geq 1$, los números $P^m(1), P^{m}(2), \ldots, P^{m}(n)$ dejan exactamente $\lceil\frac{n}{2^m}\rceil$ residuos distintos al ser divididos por $n$.

Sea $a_1, a_2, a_3, \ldots$ una secuencia infinita de enteros positivos tal que $a_{n+2m}$ divide a $a_n + a_{n+m}$ para todos los enteros positivos $n$ y $m$. Demuestra que esta secuencia eventualmente es periódica, es decir, existen enteros positivos $N$ y $d$ tales que $a_n = a_{n+d}$ para todo $n \geq N$.

Determina todos los enteros $n \geq 2$ con la siguiente propiedad: para cualesquiera $n$ enteros distintos cuya suma no es divisible por $n$, se pueden ordenar como $a_1,a_2,\ldots, a_n$ de manera que $$n \mid 1 \cdot a_1 + 2 \cdot a_2 + \ldots + n \cdot a_n.$$