Demuestra que solo hay finitas cuartetas $(a, b, c, n)$ de enteros positivos tal que $$n! = a^ {n - 1} + b^{ n - 1} + c^{n - 1}.$$

Alicia tiene un número racional $r > 1$ y una línea con dos puntos $B \neq R$, donde el punto $R$ contiene una ficha roja y el punto $B$ contiene una ficha azul. Alicia juega un juego de solitario realizando una secuencia de movimientos. En cada movimiento, elige un entero (no necesariamente positivo) $k$ y una ficha para mover. Si esa ficha esta en el punto $X$ y la otra ficha esta en $Y$, entonces Alicia mueve la cuenta elegida al punto $X'$ tal que $\overrightarrow{YX'}= r^k \overrightarrow{YX} $. El objetivo de Alicia es mover la ficha roja al punto $B$. Encuentra todos los números racionales $r > 1$ para los cuales Alicia puede alcanzar su objetivo en un máximo de $2021$ movimientos.

Encuentra todos los enteros positivos $n$ con la siguiente propiedad: los $k$ divisores positivos de $n$ tienen una permutación $(d_1, d_2, \ldots, d_k)$ tal que para cada $i = 1, 2, \ldots, k$, el número $d_1 + d_2 + \ldots + d_i$ es un cuadrado perfecto.

Sea $n \geq 100$ un número entero. Los números $n, n + 1, \ldots, 2n$ están escritos en $n + 1$ cartas, un número por carta. Las cartas se mezclan y se dividen en dos pilas. Demuestra que una de las pilas contiene dos cartas tal que la suma de sus números es un cuadrado perfecto.

Determina todos los enteros $n \geq 1$ para los cuales existe un par de enteros positivos $(a, b)$ tal que ningún cubo de un primo divide a $a^2 + b + 3$ y $$\frac{ab + 3b +8 }{ a^2+b+3 } = n.$$

Sea $\omega$ el circuncirculo de un triángulo $ABC$, y sea $\Omega_A$ su excírculo que es tangente al segmento $BC$. Los puntos $X$ e $Y$ son los puntos de intersección de $\omega$ y $\Omega_A$. Las proyecciones de $A$ a las líneas tangentes a $\Omega_A$ en $X$ e $Y$ son $P$ y $Q$, respectivamente. La línea tangente en $P$ al circuncirculo del triángulo $APX$ se interseca con la línea tangente en $Q$ al circuncirculo del triángulo $AQY$ en un punto $R$. Demuestra que $AR \perp BC$.

Se elige un punto $D$ dentro de un triángulo acutangulo $ABC$ con $AB > AC$, de manera que $\angle BAD = \angle DAC$. Se construye un punto $E$ en el segmento $AC$ tal que $\angle ADE = \angle DCB$. De manera similar, se construye un punto $F$ en el segmento $AB$ tal que $\angle ADF = \angle DBC$. Se elige un punto $X$ en la línea $AC$ tal que $CX = BX$. Sean $O_1$ y $O_2$ los circuncentros de los triángulos $ADC$ y $DXE$. Demuestra que las rectas $BC$, $EF$ y $O_1O_2$ son concurrentes.

Determina todos los enteros $n \geq 3$ que satisfacen la siguiente propiedad: cualquier $n$-agono convexo cuyos lados tienen longitud 1 contiene un triángulo equilátero de lado 1. (Se asume que cada polígono contiene su frontera.)

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico cuyos lados tienen todos longitudes diferentes. Sea $O$ el circuncentro de $ABCD$. Las bisectrices internas de $\angle ABC$ y $\angle ADC$ intersecan a $AC$ en $B1$ y $D1$, respectivamente. Sea $O_B$ el centro del círculo que pasa por $B$ y es tangente a $AC$ en $D1$. De manera similar, sea $O_D$ el centro del círculo que pasa por $D$ y es tangente a $AC$ en $B1$. Supongamos que $BD1 \parallel DB1$. Demuestra que $O$ está en la recta $O_BO_D$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero inscrito en una circunferencia $\Omega$. La tangente a $\Omega$ en $D$ interseca a los rayos $BA$ y $BC$ en los puntos $E$ y $F$, respectivamente. Se elige un punto $T$ dentro del triángulo $ABC$ tal que $TE \parallel CD$ y $TF \parallel AD$. Sea $K\neq D$ un punto en el segmento $DF$ tal que $TD = TK$. Demuestra que las rectas $AC$, $DT$ y $BK$ se intersecan en un punto.