Versión 1. Sea $n$ un entero positivo fijo, y sea $\mathcal{S}$ el conjunto de puntos $(x, y)$ en el plano cartesiano tales que ambas coordenadas $x$ e $y$ sean enteros no negativos menores que $2n$ (por lo tanto, $|\mathcal{S}| = 4n^2$). Supongamos que $\mathcal{F}$ es un conjunto que consiste en $n^2$ cuadriláteros de manera que todos sus vértices están en $\mathcal{S}$, y cada punto en $\mathcal{S}$ es un vértice de exactamente uno de los cuadriláteros en $\mathcal{F}$. Determina la suma más grande posible de las áreas de todos los cuadriláteros en $F$. Versión 2. En lugar de que $\mathcal{F}$ consista de cuadrilateros, consiste de poligonos de cualquier numero de lados. Determina la maxima suma de los poligonos en $\mathcal{F}$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo circunscrito alrededor de un círculo con centro $I$. Sea $\omega$ el circuncírculo del triángulo $ACI$. Las prolongaciones de $BA$ y $BC$ más allá de $A$ y $C$ intersecan $\omega$ en $X$ y $Z$, respectivamente. Las prolongaciones de $AD$ y $CD$ más allá de $D$ intersecan $\omega$ en $Y$ y $T$, respectivamente. Demuestra que los perímetros de los cuadriláteros (posiblemente auto-intersecantes) $ADTX$ y $CDYZ$ son iguales.

Sea $ABCD$ un paralelogramo tal que $AC = BC$. Se elige un punto $P$ en la prolongación del segmento $AB$ más allá de $B$. El circuncírculo del triángulo $ACD$ intereca al segmento $PD$ nuevamente en $Q$, y el circuncírculo del triángulo $APQ$ interseca al segmento $PC$ nuevamente en $R$. Demuestra que las rectas $CD$, $AQ$ y $BR$ son concurrentes.

Determina el valor más grande de $N$ para el cual existe una tabla $T$ de enteros con $N$ filas y $100$ columnas que tiene las siguientes propiedades: (i) Cada fila contiene los números $1, 2, \ldots, 100$ en algún orden. (ii) Para cualquier par de filas distintas $r$ y $s$, existe una columna $c$ tal que $|T_{r, c} - T_{s, c}| \geq 2$. Donde $T_{r, c}$ es el número en la intersección de la fila $r$ y la columna $c$.

Considera un tablero cuadrado de $3m \times 3m$, donde $m$ es un entero mayor que $1$. Una rana se encuentra en la celda inferior izquierda $S$ y quiere llegar a la celda superior derecha $F$. La rana puede saltar desde cualquier celda a la siguiente celda a la derecha o a la siguiente celda hacia arriba. Algunas celdas pueden estar pegajosas, y la rana queda atrapada una vez que salta a una celda pegajosa. Un conjunto $X$ de celdas se llama bloqueante si la rana no puede llegar de $S$ a $F$ cuando todas las celdas de $X$ están pegajosas. Un conjunto bloqueante es mínimo si no contiene un conjunto bloqueante más pequeño. (a) Demuestra que existe un conjunto bloqueante mínimo que contiene al menos $3m^2 - 3m$ celdas. (b) Demuestra que cualquier conjunto bloqueante mínimo contiene como máximo $3m^2$ celdas.

Un cazador y un conejo invisible juegan en una cuadrícula cuadrada infinita. Primero, el cazador fija una coloración de las celdas con un número finito de colores. Luego, el conejo elige en secreto una celda para comenzar. Cada minuto, el conejo informa al cazador sobre el color de la celda en la que se encuentra, y luego se mueve en secreto a una celda adyacente que no ha visitado antes (dos celdas son adyacentes si comparten un lado). El cazador gana si después de algún tiempo finito: - El conejo no puede moverse, o - El cazador puede determinar la celda en la que el conejo comenzó. Decide si existe una estrategia ganadora para el cazador.

Sean $n$ y $k$ dos enteros con $n > k \geq 1$. Hay $2n + 1$ estudiantes parados en un círculo. Cada estudiante $S$ tiene $2k$ vecinos, es decir, los $k$ estudiantes más cercanos a la derecha y los $k$ estudiantes más cercanos a la izquierda de $S$. Supongamos que $n+1$ de los estudiantes son niñas y los otros $n$ son niños. Demuestra que hay una niña con al menos $k$ niñas entre sus vecinos.

El reino de Anisotropía consta de $n$ ciudades. Para cada par de ciudades existe exactamente una carretera directa y unidireccional entre ellas. Decimos que un "camino" de $X$ a $Y$ es una secuencia de carreteras en las uno se puede mover de $X$ a $Y$ a lo largo de esta secuencia sin volver a una ciudad ya visitada. Una colección de caminos se llama diversa si ninguna carretera pertenece a dos o más caminos en la colección. Sean $A$ y $B$ dos ciudades distintas en Anisotropía. Denotemos por $N_{AB}$ la cantidad máxima de caminos en una colección diversa de caminos de $A$ a $B$. De manera similar, denotemos por $N_{BA}$ la cantidad máxima de caminos en una colección diversa de caminos de $B$ a $A$. Demuestra que la igualdad $N_{AB} = N_{BA}$ se cumple si y solo si el número de carreteras que salen de $A$ es igual al número de carreteras que salen de $B$.

Un estafador tiene $2021$ fichas numeradas del $1$ al $2021$. Las fichas están acomodadas en un círculo en un orden arbitrario. El estafador realiza una secuencia de $2021$ movimientos; en el movimiento $k$, intercambia las posiciones de las dos fichas adyacentes a la ficha $k$. Demuestra que existe un valor de $k$ tal que, en el movimiento $k$, el estafador intercambia fichas $a$ y $b$ con $a < k < b$.

Para un entero $n \geq 3$, un entero $m \geq n + 1$ se llama $n$-colorido si, dado un número infinito de canicas de cada uno de los $n$ colores $C_1, C_2, \ldots, C_n$, es posible colocar $m$ de ellas alrededor de un círculo de manera que en cualquier grupo de $n + 1$ canicas consecutivas haya al menos una de color $C_i$ para cada $i = 1, 2, \ldots, n$. Demuestra que solo hay finitos enteros positivos que no son $n$-coloridos y encuentra el mayor de ellos.