Sea $S$ un conjunto infinito de enteros positivos tal que existan cuatro elementos distintos $a$, $b$, $c$, $d \in S$ con $\text{mcd}(a, b) \neq \text{mcd}(c, d)$. Demuestra que existen tres elementos distintos $x$, $y$, $z \in S$ tales que $\text{mcd}(x, y) = \text{mcd}(y, z) \neq \text{mcd}(z, x)$.

Determina todas las funciones $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ que satisfacen \[ (f(a)-f(b)) + (f(b)-f(c)) + (f(c)-f(a)) = f(ab^2 + bc^2 + ca^2) - f(a^2b + b^2c + c^2a) \] para todos los números reales $a$, $b$, $c$.

Sea $n \geq 1$ un entero, y sean $x_0, x_1, \ldots, x_{n+1}$ números reales no negativos que satisfacen $x_ix_{i+1} - x_{i-1}^2 \geq 1$ para todo $i = 1, 2, \ldots, n$. Demuestra que \[ x_0 + x_1 + \cdots + x_{n-1} + x_{n+1} > (\frac{2n}{3})^{\frac{3}{2}}. \]

Sea $A$ un conjunto finito de enteros (no necesariamente positivos), y sea $m \geq 2$ un entero. Supongamos que existen subconjuntos no vacíos $B_1, B_2, \ldots, B_m$ de $A$ cuyos elementos suman $m^1, m^2, m^3, \ldots, m^m$ respectivamente. Demuestra que $A$ contiene al menos $\frac{m}{2}$ elementos.

Sea $n \geq 2$ un entero, y sean $a_1, a_2, \ldots, a_n$ números reales positivos tales que $a_1 + a_2 + \cdots + a_n = 1$. Demuestra que \[ \sum_{k=1}^{n} \frac{a_k}{1-a_k} \left(a_1 + a_2 + \cdots + a_{k-1}\right)^2 < \frac{1}{3}. \]

Demuestra que para todos los números reales $x_1, \ldots, x_n$, se cumple la siguiente desigualdad: \[ \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \sqrt{|x_i - x_j|} \leq \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \sqrt{|x_i + x_j|}. \]

Dado un entero positivo $n$, encuentra el valor más pequeño de \[ \lfloor \frac{a_1}{1}\rfloor + \lfloor\frac{a_2}{2}\rfloor + \cdots + \lfloor\frac{a_n}{n} \rfloor \] sobre todas las permutaciones $a_1, a_2, \ldots, a_n$ de $1, 2, \ldots, n$.

Para cada entero $n \geq 1$, considera la tabla $n \times n$ con la entrada $\lfloor \frac{ij}{n+ 1} \rfloor$ en la intersección de la fila $i$ y la columna $j$, para $i = 1, \ldots, n$ y $j = 1, \ldots, n$. Encuentra todos los enteros $n \geq 1$ para los cuales la suma de las $n^2$ entradas en la tabla es igual a $\frac{1}{4}n^2(n - 1)$.

Sea $n$ un número entero y $A$ un subconjunto de $\{0, 1, 2, 3, \ldots, 5^n\}$ que consiste en $4n + 2$ números. Demuestra que existen $a$, $b$, $c \in A$ tales que $a < b < c$ y $c + 2a > 3b$.

Sea $\Omega(n)$ el numero de factores primos de $n$, contando multiplicidad. Calcula $$\sum_{n=1}^{1989} (-1)^{\Omega(n)}\lfloor \frac{1989}{n}\rfloor.$$