Teorema de Wolstenhome
Sea $p > 3$ un primo. Entonces $$(p-1)!(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{p-1})\equiv 0 \text{ mod } p^2.$$
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Sumas de potencias modulo $p$
Si $p$ es un primo entonces tenemos que $$1^n+2^n+\cdots +(p-1)^n$$ es $1$ si $p-1\mid n$ y es $0$ si no. Esto les deberia recordar a la suma de raices de la unidad, porque es lo mismo. Pues modulo $p$ tenemos una raiz primitiva $\omega$ y entonces todas las sumas que vemos ahi son $1+\omega^{n}+\omega^{2n}+\cdots+\omega^{(p-2)n}$.
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Sumas 1
Cuantos subconjuntos de $\{1,2,\ldots, 1000\}$ tienen una suma divisible entre $3$.
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Putnam 2013 Problema B4
Sea $T$ el conjunto de todas las tercias de enteros positivos que forman un triangulo. Calcula $$\sum_{(a,b,c)\in T} \frac{2^a}{3^b5^c}$$
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Putnam 2013 Problema A3
Sean $a_0,a_1,\ldots, a_n$ y $0<x<1$ numeros reales tales que $$\frac{a_0}{1-x}+\frac{a_1}{1-x^2}+\cdots +\frac{a_n}{1-x^{n+1}}=0.$$ Demuestra que existe un real $0<y<1$ tal que $$a_0+a_1y+\cdots+a_ny^n=0.$$
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Putnam 2011 Problema A2
Sean $a_1,a_2,\ldots$ y $b_1,b_2,\ldots$ secuencias de reales positivos tales que $a_1=b_1=1$ y $b_n=b_{n-1}a_n-2\quad \forall n\geq 2$. Supon que la secuencia $(b_j)$ esta acotada. Demuestra que $$S=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{a_1a_2\cdots a_n}$$ converge y calcula el valor de $S$.
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Suma de raices de la unidad
En ocasiones es util que cuando una suma solo se da cuando algo es multiplo de $n$ se puede ver como una suma que sucede con raices $n$-esimas de la unidad. Esto pues tenemos que si la raiz $n$-esima es $\omega$ entonces $$1+\omega+\omega^2+\cdots+\omega^{n-1}=0.$$ Un ejemplo de como esto puede ser util es caluclar la siguiente suma. $$\sum_{k\geq 0} {1000 \choose 3k}.$$ Podemos reescribir esto como $$\frac{1}{3}\sum_{k\geq 0} {1000\choose k}(1+\omega^n+\omega^{2n})$$ donde $\omega$ es la raiz cubica de $1$. Pues $1+\omega^n+\omega^{2n}$ es $3$ si $3|n$ y es $0$ si no. Podemos luego reescribir esta suma de la siguiente forma $$\frac{1}{3}\sum_{n\geq 0}{1000\choose n}(1+\omega^n+\omega^{2n})=\frac{1}{3}(\sum_{n\geq 0}{1000\choose n}+\sum_{n\geq 0}{1000\choose n}\omega^n+\sum_{n\geq 0}{1000\choose n}\omega^{2n})$$$$=\frac{1}{3}(2^{1000}+(1+\omega)^{1000}+(1+\omega^2)^{1000}$$$$=\frac{1}{3}(2^{1000}+(-\omega^2)^{1000}+(-\omega)^{1000})$$$$=\frac{1}{3}(2^{1000}+\omega+\omega^2)=\frac{2^{1000}-1}{3}$$
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AMSP 2011 Problema NT3
Sea $n$ un entero positivo. Demuestra que $$\sum_{k\geq 1} \varphi(k)\lfloor\frac{n}{k}\rfloor=\frac{n(n+1)}{2}$$
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Factorizar una suma
Cuando tienes una suma en dos variables por ejemplo $$\sum_{a=1}^n\sum_{b= 1}^n a^2(b^3-1)$$ la doble suma se puede factorizar en el producto de dos sumas $$\sum_{a=1}^n\sum_{b=1}^n a^2(b^3-1)=(\sum_{a=1}^n a^2)(\sum_{b=1}^n b^3-1).$$
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Cambiar el orden de una suma
En varias ocasiones una expresion se puede escribir como una doble suma $$\sum_{a\in A}\sum_{b\in B} f$$ y aunque como esta escrito puede ser complicado, varias veces esto se ""arregla"" con cambiar el orden de la suma. Por ejemplo puede ser mas sencillo $$\sum_{a\in A}\sum_{b\in B}f=\sum_{b\in B}\sum_{a\in A}f$$ incluso puedes hacer un cambio de variable por ejemplo. $$\sum_{a\geq 0}\sum_{b\geq 0}f=\sum_{k\geq 0} \sum_{a+b=k}f.$$
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