Sea $n\geq 2$ un entero. Lucia escoge $n$ numeros reales $x_1,x_2,\ldots, x_n$ tales que $|x_i-x_j|\geq 1$ $\forall i\neq j$. Despues, escribe en cada uno de los cuadrados de un tablero de $n\times n$ uno de estos numeros de forma que en cada fila y columna no se repita ningun numero. Despues de esto Lucia calcula por cada cuadrado el valor absoluto de la diferencia entre el numero en ese cuadrado y el que esta en el primer cuadrado de su fila. Determina cual es el menor valor posible de la suma de todas estas $n^2$ diferencias.

Encuentra todas las parejas de primos $(p,q)$ tales que $$6pq\mid p^3+q^2+38.$$

Sea $ABC$ un triangulo acutangulo y $D$ un punto en $BC$. Sean $R$ y $S$ los pies de las alturas desde $D$ a $AC$ y $AB$, respectivamente. La linea $DR$ interseca al circuncirculo de $BDS$ en $X(\neq D)$. Similarmente, $DS$ corta al circuncirculo de $CDR$ en $Y(\neq D)$. Demuestra que si $XY\parallel RS$ entonces $D$ es el punto medio de $BC$.

Sea $ABC$ un triangulo acutangulo y sean $D,E$ y $F$ los pies de las alturas desde $A,B$ y $C$, respectivamente. La recta $EF$ y el circuncirculo de $ABC$ se intersecan en $P$, con $F$ entre $E$ y $P$. Las rectas $BP$ y $DF$ se intersecan en $Q$. Demuestra que si $ED=EP$ entonces $CQ$ y $DP$ son paralelas.

En cada casilla de una cuadricula de $n\times n$ se escribe $0,1$ o $2$. Determina todos los enteros positivos $n$ para los que existe una forma de llenar la cuadricula de $n\times n$ de manera que al calcular la suma de todas las filas y de las columnas, se obtienen todos los numeros $1,2,\ldots, 2n$.

Un entero $n\geq 2$ se dice tuanis si al sumar el menor divisor primo de $n$ y el mayor divisor primo de $n$ (pueden ser iguales), se obtiene un numero impar. Calcula la suma de todos los numeros tuanis menores o iguales a 2023.

En un estanque se encuentran $n\geq 3$ piedras puestas en una circunferencia. Una princesa quiere etiquetar las piedras con los numeros $1,2,\ldots, n$ en algun orden y despues colocar sapos sobre las piedras. Una vez que todos los sapos esten colocados, empiezan a saltar en el sentido de las manecillas del relojm de acuerdo a la siguiente regla: cuando un sapo llega a la piedra etiquetada $k$, espera $k$ minutos y luego salta a la siguiente piedra. Si en ningun momento pueden dos sapos ocupar la misma piedra, Cual es la mayor cantidad de sapos para los cuales la princesa puede etiquetar las piedras antes de colocar los sapos?

Sea $ABC$ un triangulo acutangulo con $AB<AC$ y $\Gamma$ la circunferencia que pasa por $A,B$ y $C$. Sean $D$ el punto diametralmente opuesto a $A$ en $\Gamma$ y $\ell$ la recta tangente a $\Gamma$ en $D$. Sean $P$, $Q$ y $R$ ;as intersecciones de $BC$ con $\ell$, de $AP$ con $\Gamma$ tal que $Q\neq A$ y de $QD$ con la altura del triangulo $ABC$ por $A$, respectivamente. Se definen el punto $S$ como la interseccion de $AB$ con $\ell$ y $T$ como la interseccion de $AC$ con $\ell$. Demuestra que $S$ y $T$ pertenecen a la circunferencia que pasa por $A,Q$ y $R$.

Un numero de cuatro cifras $n=\overline{abcd}$, donde $a,b,c$ y $d$ son digitos con $a\neq 0$ se denomina guanaco si el producto $\overline{ab}\times \overline{cd}$ es un divisor de $n$. Encuentra todos los numeros guanacos que existen.

Sean $a,b,c$ numeros reales positivos tales que $ab+bc+ca=1$. Demuestra que $$\frac{a^3}{a^2+3b^2+3ab+2bc}+\frac{b^3}{b^2+3c^2+3bc+2ca}+\frac{c^3}{c^2+3a^2+3ca+2ab}> \frac{1}{6(a^2+b^2+c^2)}$$