Octavio escribe un entero $n\geq 1$ en un pizarron y luego inicia un proceso en el que en cada paso borra el numero $k$ escrito en el pizarron y lo reemplaza por uno de los siguientes numeros, siempre y cuando sean enteros: $$3k-1,\quad 2k+1,\quad \frac{k}{2}$$ Demuestra que para todo entero $n\geq 1$, Octavio puede llegar a escribir en el pizarron el numero $3^{2023}$ luego de una cantidad finita de pasos.

Una coloracion del conjunto de los enteros mayores o iguales que $1$, debe hacerse con la siguiente regla: cada numero se colorea de azul o rojo, de manera que la suma de cualesquiera dos numeros (no necesariamente distintos) del mismo color, sea azul. Determina todas las coloraciones posibles del conjunto de los enteros mayores o iguales a $1$, que sigan esta regla.

Sea $ABC$ un triangulo equilatero. Sean $A_1,B_1,C_1$ puntos interiores de $ABC$ tales que $BA_1=A_1C$, $CB_1=B_1A$, $AC_1=C_1B$ y $$\angle BA_1C=\angle CB_1A=\angle AC_1B=480^\circ.$$ Las rectas $BC_1$ y $CB_1$ se cortan en $A_2$, $CA_1$ y $AC_1$ en $B_2$ y las rectas $AB_1$ y $BA_1$ en $C_2$. \nDemuestra que si el triangulo $A_1B_1C_1$ es escaleno entonces los tres circuncirculos de los triangulos $AA_1A_2$, $BB_1B_2$ y $CC_1C_2$ pasan por dos puntos comunes.

Sea $n$ un entero positivo. Un triangulo japones consiste en $1+2+\cdots+n$ circulos iguales acomodados en forma de triangulo equilatero de forma que para cada $i=1,2,\ldots, n$ la fila numero $i$ contiene $i$ circulos, de los cuales exactamente $1$ de ellos se pinta de rojo. Un camino ninja en un triangulo japones es una sucesion de $n$ circulos que comienza con el circulo de la fila superior y termina en la fila inferior, pasando sucesivamente de un circulo a uno de los dos circulos inmediatamente debajo a el.\nEn la figuro se muestra un ejemplo de un triangulo japones con $n=6$ y un camino ninja con dos circulos rojos.\nEn terminos de $n$ determina el mayor $k$ tal que cada triangulo japones tiene un camino ninja que contiene al menos $k$ circulos rojos.

Sean $x_1,x_2,\ldots, x_{2023}$ numeros reales positivos, todos distintos entre si, tales que $$a_n=\sqrt{(x_1+x_2+\cdots+x_n)(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_n})}$$ es entero para todo $n=1.2.\ldots, 2023$. \nDemuestra que $a_{2023}\geq 3034$.

Para cada entero $k\geq 2$ determina todas las sucesiones infinitas de enteros positivos $a_1,a_2,\ldots$ para las culaes existe un polinomio $P$ de la forma $P(x)=x^k+c_{k-1}x^{k-1}+\cdots+c_1x+c_0$ con $c_0,\ldots, c_{k-1}$ enteros no negativos tales que $$P(a_n)=a_{n+1}a_{n+2}\cdots, a_{n+k}$$ Para todo entero $n\geq 1$.

Sea $ABC$ un triangulo acutangulo con $AB<AC$. Sea $\Omega$ el circuncirculo de ABC. Sea $S$ el punto medio del arco $CB$ de $\Omega$ que contiene a $A$. La perpendicular a $A$ por $BC$ corta al segmento $BS$ en $D$ y a $\Omega$ de nuevo en $E\neq A$. La paralela a $BC$ por $D$ corta a la recta $BE$ en $L$. Sea $\omega$ el circuncirculo del triangulo $BDL$. Las circunferencias $\omega$ y $\Omega$ se cortan de nuevo en $P\neq B$. \nDemuestra que la recta tangente a $\omega$ en $P$, $BS$ y la bisectriz interna de $\angle BAC$ concurren.

Determina todos los enteros compuestos $n>1$ que satisfacen la siguiente propiedad: si $1=d_1<d_2,\ldots<d_k=n$ son sus divisores positivos, entonces $$d_i\mid d_{i+1}+d_{i+2}$$ para cada $1\leq i\leq k-2$.

Sean $a,b,c$ reales que forman lados de un triangulo. Demuestra que $$\sqrt{a+b-c}+\sqrt{b+c-a}+\sqrt{c+a-b}\leq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}.$$