Sean $a_1,a_2,\ldots, a_n$ reales y ademas fijemos $a_1+a_2+\cdots +a_n$. Sea $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ una function con exactamente un punto de inflexion ($f''(x)=0$). Si $$f(a_1)+f(a_2)+\cdots+f(a_n)$$ tiene un punto maximo o minimo entonces $n-1$ de las $a_i's$ son iguales entre si.

Sean $a_1,a_2,\ldots, a_n$ reales y $a=\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}$, en ocasiones aun si una funcion $f$ no es convexa la desigualdad $f(x)\geq f(a)+f'(a)(x-a)$ se cumple y puede ser relativamente sencilla de probar. \nUn ejemplo es el siguiente. emuestra que $$\sum_{cyc} \frac{(b+c-a)^2}{a^2+(b+c)^2}\geq \frac{3}{5}.$$\nComo la desigualdad es homogenea podemos asumir s.p.g. $a+b+c=3$. Reescribimos la desigualdad como $$\sum_{cyc} \frac{(3-2a)^2}{a^2+(3-a)^2}\geq \frac{3}{5}$$ y con $f(x)=\frac{(3-2x)^2}{x^2+(3-x)^2}$ tenemos que $f'(x)=\frac{-18(3-2x)}{(2x^2-6x+9)^2}$ entonces $f(1)=\frac{1}{5}$, $f'(1)=\frac{18}{25}$ y finalmente vemos que $$f(a)=\frac{(3-2a)^2}{a^2+(3-a)^2}\geq \frac{1}{5}-\frac{18}{25}(a-1)=f(1)-f'(1)(a-1)$$ $$\iff \frac{18}{25}(a-1)^2\frac{2a+1}{2a^2-6a+9}\geq 0$$\nY sumando las desigualdades para $a,b,c$ tenemos la desigualdad que queriamos.

Si $f$ es una funcion convexa, y $(x_n)$ mayoriza a $(y_n)$ entonces $$f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)\geq f(y_1)+f(y_2)+\cdots+f(y_n).$$ Si $f$ es concava entonces la desigualdad opuesta se da.

Si $f$ es una funcion convexa, entonces tenemos\n$$\frac{f(a_1)+f(a_2)+\cdots+f(a_n)}{n}\geq f(\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}).$$\nSi $f$ es concava entonces la desigualdad opuesta se da.

Sea $f: (a,b)\to \mathbb{R}$ una funcion. Decimos que $f$ es ${\bf convexa}$ en $(a,b)$ si se cumple que para todo $x,y\in (a,b)$ y $0\leq t\leq 1$ tenemos \n$$f(tx+(1-t)y)\leq tf(x)+(1-t)f(y)$$\nY es ${\bf concava}$ cuando la deigualdad opuesta se da. Por esto $f$ es convexa si y solo si $-f$ es concava.\nCuando $f$ es dos veces diferenciable una manera equivalente a saber si es convexa es si $f''(x)\geq 0$ para todo $x$. Y es concava cuando $f''(x)\leq 0$.

Varias de las desigualdades mas comunes son desigualdades homogeneas, queriendo decir que los terminos de ambos lados tienen el mismo grado si los pensamos como polinomios.\nPero en ocasiones cuando las desigualdades no son homogeneas varias veces hay condiiones extras o transformaciones que podemos hacer para homogenizar.\nPor ejemplo en este problema:\nDados reales positivos $a,b,c$ tales que $abc=1$, demuestra que $$a^4+b^4+c^4\geq a+b+c.$$\nPodemos multiplicar el lado derecho por $abc$ para obtener $$a^4+b^4+c^4\geq a^2bc+ab^2c+abc^2$$ la cual se puede probar de manera sencilla con MA-MG utilizando la desigualdad $$\frac{a^4}{4}+\frac{a^4}{4}+\frac{b^4}{4}+\frac{c^4}{4}\geq \sqrt[4]{a^4a^4b^4c^4}=a^2bc$$ y sus variaciones ciclicas.

Decimos que una secuencia $(x_n)$ mayoriza ($\succ$) a $(y_n)$ si $x_1+x_2+\cdots +x_n=y_1+y_2+\cdots +y_n$ y para toda $i\leq n$ $x_1+x_2+\cdots +x_i\geq y_1+y_2+\cdots+y_i$.\nSean $a_1,a_2,\ldots, a_n$ reales positivos y $(x_n)$ una secuencia que mayoriza a $(y_n)$ entonces tenemos la siguiente desigualdad \n$$\sum_{sym}a_1^{x_1}a_2^{x_2}\cdots a_n^{x_n}\geq a_1^{y_1}a_2^{y_2}\cdots a_n^{y_n}$$\nPor ejemplo si tenemos $a_1,a_2,a_3=a,b,c$ y $[3,0,0]\succ[2,1,0]$ entonces $$2a^3+2b^3+2c^3\geq a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+a^2c+ac^2.$$

Sean $a_1,a_2,\ldots, a_n$ reales no negativos entonces tenemos \n$$\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}\geq \sqrt[n]{a_1a_2\ldots a_n}.$$\nLa igualdad se da si y solo si $a_1=a_2=\cdots=a_n$.

Sea $A\in\mathbb R^n$ un cuerpo convexo centralmente simétrico respecto al origen tal que $Vol(A)>2^n$. Entonces $A$ contiene un punto de retículo entero distinto del origen.

Sea $\lambda=e^{\frac{2i\pi}{n}}$ dónde $n$ es un entero positivo. Para cada polinomio $F(x)=\sum_{i=0}^{\infty} a_ix^i$, la suma $\sum_{i=0}^{\infty} a_{ni}$ está dada por: $$n\sum_{i=0}^{\infty} a_{ni}=\sum_{i=0}^{n-1} F(\lambda^i)$$