Se ponen $100$ hormigas en un circulo. Las hormigas pueden moverse en el sentido de las manecillas o en contra, pero todos van a la misma velocidad. Cuando dos hormigas se encuentran, ambas se dan la vuelta y continuan caminando en la direccion opuesta. Habra algun momento donde todas las hormigas regresen a sus posiciones iniciales al mismo tiempo?

En algunos problemas ya sean de juegos o problemas dinamicos, hay ocasiones donde el problema te dice que algo cambia, como fichas. Pero en ocasiones, como las fichas son indistinguibles entre si, no tienes que hacer el cambio que te dicen. El siguiente problema es un ejemplo de un problema que puede parecer complicado porque hay muchas cosas que observar, pero al no hacer todos los cambios que el problema dice se vuelve mucho mas simple. En una linea de $100$ cm de distancia se van a poner $100$ hormigas. Algunas de las hormigas irán de izquierda a derecha en la linea y otras de derecha a izquierda. Todas las hormigas van avanzado con velocidad de 1cm por segundo. Si durante su camino chocan con otra hormiga que va en la dirección opuesta, las dos se dan la vuelta y continuan caminando a la misma velocidad. Cuanto es el mayor tiempo que puede durar una hormiga caminando, en cualquiera de las posiciones y direcciones que pueden tener las $100$ hormigas?

Cuando tenemos un problema con una situacion que cambia, puede ser un tablero, fichas o algo del estilo, buscamos entender como es que cambia. Por ahora digamos que estamos trabajando en un tablero, pero puede ser cualquier objeto que tenga "estados" distintos. Una invarianza es algo que no cambia no importa como cambie tu tablero. Un ejemplo usual de invarianzas son congruencias o paridad de alguna de las cosas que cambian. Imaginemos que el problema es de un tablero de ajedrez (de $8\times 8$ donde podemos elegir 2 cuadraditos pegados y cambiar su color. Cambiar el blanco a negro y el negro a blanco. Si iniciamos con la coloracion de ajedrez podemos llegar a un solo cuadraro negro en una esquina? La respuesta es que no pues la invarianza es la paridad del numero de cuadrados negros nunca cambia. Si cambiamos dos cuadrados blancos, añadimos dos cuadrados negros, si cambiamos dos negros quitamos 2 negros, y si es 1 y 1, entonces se mantiene el numero de negros. No importa que hagamos el numero de cuadrados negros siempre es par y no podemos terminar con solo un cuadrado negro en una esquina. Una monovarianza es algo parecido a la invarianza pero en lugar de que algo se mantenga, sabemos que siempre cambia de la misma manera. Un ejemplo es el siguiente juego con un monton de $n$ piedras. Los jugadores $A$ y $B$ van a jugar, empezando por $A$ y lo que pueden hacer en cada turno es tomar un monton de piedras y separarlo en $2$ montones de cualquier tamaño con almenos $1$ piedra cada uno. El primer jugador que ya no pueda mover pierde. Si empiezan con un solo monton de $n$, para que valores de $n$ gana $A$ y para cuales gana $B$? Aqui lo que obsrvamos son 2 cosas. Mientras que un monton tenga mas de $1$ piedra se puede separar en $2$ montones. La siguiente observación es que en cada turno siempre hay exactamente un monton de piedras más que en el anterior. Entonces solo hay un posible estado donde un jugador pierde y es cuando hay $n$ montones con $1$ piedra cada uno. Para llegar a ese estado como en cada turno hay un montón más, entonces se necesitan $n-1$ turnos para llegar a la posicion perdedora. Si $n$ es par, $n-1$ es impar y $B$ pierde. Y si $n$ es impar, $n-1$ es par y $A$ pierde.