En un juego llamaremos a una posicion del juego $G$ o ganadora, si el jugador que mueve puede elegir un movimiento con el que garantizará ganar. Y llamaremos $P$ o perdedora si no importa el movimiento que haga el jugador va a perder. Lo primero que notamos es que si el juego no tiene empates entonces todas las posiciones son $G$ o $P$. En juegos que tienen empates usualmente hay 2 opciones, llamar $E$ a posiciones donde se puede garantizar empatar pero no ganar, o decir que es $P$ si el jugador tiene manera de no perder, o equivalentemente que puede garantizar ganar o empatar. Lo importante de nombrar estas posiciones es que podemos definir todas las posiciones a partir de las posiciones finales, aquellas donde el juego ya termino. Y esto es util porque el siguiente lema nos ayuda a construir las posiciones $P$ y $G$. $Lema$ Una posicion es $P$ si y solo si todas las posiciones a las que lleva cualquier movimiento posible son todas $G$. Y un movimiento es $G$ si y solo si hay almenos un movimiento al que puede llevar que es $P$. La demostración es simple e intuitiva, pues estas en una posicion perdedora si y solo si no importa que hagas tu oponente esta en una posicion ganadora. Y estas en una posicion ganadora si y solo si, puedes mandar a tu oponente a una posicion donde va a perder. Por ejemplo en un juego simple donde hay un monton de varias piedritas y cada jugador puede quitar 1 o 2 piedras, entonces las posiciones $1$ y $2$ son $G$, la posición $3$ es $P$ porque el jugador que sea su turno necesariamente va a mandar a una posicion que es $G$. Y podemos seguir construyendo asi al ver que $4$ y $5$ son $G$ pues pueden mandar a $3$, pero $6$ es $P$. Y en general este juego las posiciones ganadoras son los numeros no multiplos de $3$ y las perdedoras son los multiplos de $3$.

Algunas estrategias principales a la hora de intentar un problema de juegos, es pensar en que hacer dependiendo del movimiento del oponente. Si solo usamos el movimiento anterior del oponente, le llamamos emparjamiento a esta estrategia, pues a cada movimiento que el haga definimos una pareja que nosotros vamos a hacer. \n\nDe estas estrategias hay algunos ejemplos simples:\n- Simetria, donde si el oponente pone alguna ficha en un lugar nosotros escogemos la pieza simetrica a la que eligio.\n- Paridad o ""completar"". Si el oponente toma o pone un numero par o impar de de fichas, nosotros ponemos un numero par o impar para preservar la paridad. Esto tambien puede ""completar"" otras congruencias como modulo 3, o dependiendo del juego otras cosas se pueden completar.

La configuración: Sea $ABC$ un triángulo, $\Gamma$ su circuncírculo, $A'$ el diametralmente opuesto a $A$ en $\Gamma$, $H$ su ortocentro, $D, E, F$ los pies de las alturas desde $A, B, C$ respectivamente, $H'$ la reflexión de $H$ por $BC$, $M$ el punto medio de $BC$, $\omega$ el círculo de diámetro $AH$, $Q \neq A$ la intersección de $\omega$ con $\Gamma$, $P$ la intersección de $AM$ con $\omega$, y $X$ la intersección de $EF$ con $BC$. Nota: Conviene trabajar con un triángulo $ABC$ acutángulo para fines de este documento, pero la configuración tiene las mismas propiedades sin importar la forma del triángulo. Para triángulos isósceles muchos puntos se juntan. Por ejemplo, $A=Q$, $H=P$. Otros puntos como $X$, son puntos al infinito. Rotohomotecia (similitud) - $Q$ es el centro de rotohomotecia que manda: $$E \rightarrow C,\qquad F \rightarrow B,\qquad H \rightarrow H'$$ - $Q$ es el punto de Míquel del cuadrilátero cíclico $BFEC$ - $P$ es el centro de rotohomotecia que manda: $$E \rightarrow B, \qquad F \rightarrow C,\qquad H \rightarrow A''$$ ($A''$ es la reflexión de $A$ por $BC$) - $P$ es el punto de Míquel del cuadrilátero cíclico (no convexo) $BEFC$ Armónicos: - $B, C; D, X$ es una hilera armónica - $QBH'C$ es un cuadrilátero armónico - $QEHF$ es un cuadrilátero armónico - $AP$ es simediana del triángulo $AEF$ - $PEAF$ es un cuadrilátero armónico - $H$ es el incentro del triángulo $DEF$ Inversiones: Con Centro $M$, radio $MB=MC=ME=MF$: - $B, E, F, C$ son puntos fijos - $$A \rightarrow P, \qquad Q \rightarrow H,\qquad X \rightarrow D, \qquad \omega \rightarrow \omega$$ - La recta $AX$ se invierte en el círculo de $MDHP$ - La circunferencia de los nueve puntos se invierte en $EF$ - El circuncírculo de $BHC$ se invierte en $\Gamma$ Con Centro $A$, radio $\sqrt{AD \cdot AH}$ - $$B \rightarrow F, \qquad C \rightarrow E, \qquad D \rightarrow H, \qquad M \rightarrow P$$ $$X \rightarrow Q, \qquad BC \rightarrow \omega, \qquad EF \rightarrow \Gamma, \qquad K \rightarrow A''$$ -La circunferencia de diámetro BC se invierte en sí misma - La circunferencia de los nueve puntos se invierte en el circuncírculo de $BHC$ Centro $X$, radio $\sqrt{XB \cdot XC}$ - $$B \rightarrow C,\qquad M \rightarrow D, \qquad P \rightarrow H, \qquad F \rightarrow E$$ - $$A \rightarrow Q, \qquad \omega \rightarrow \omega, \qquad \Gamma \rightarrow \Gamma, \qquad K \rightarrow A''$$ - La circunferencia de diámetro BC se invierte en sí misma - La circunferencia de los nueve puntos de se invierte en sí misma - El circuncírculo de $BHC$ se invierte en sí mismo Inversión negativa (ó inversión+reflexión) con centro $H$, radio $\sqrt{HA \cdot HD}$} - $$B \rightarrow E, \qquad C \rightarrow F, \qquad A \rightarrow D$$ $$ P \rightarrow X, \qquad M \rightarrow Q, \qquad\omega \rightarrow BC$$ - $\Gamma$ se invierte en la circunferencia de los nueve puntos de $ABC$ - $K \rightarrow A''$ - La circunferencia de diámetro $BC$ se invierte en sí misma - El circuncírculo de $BHC$ se invierte en $EF$

Sea $ABC$ un triangulo con circuncentro $O$ y ortocentro $J$. Sea $M$ el punto medio de $AB$. Supon que el rayo $MH$ y la paralela a $AB$ por $O$ se cortan en un punto $K$ sobre el circuncirculo de $ABC$. Sea $P$ el pie de la perpendicular desde $K$ a $AC$. Demuestra que $PH$ es paralela a $BC$.

Sea $ABC$ un triangulo, $D$ y $E$ los pies de las alturas desde $C$ a $AB$ y de $B$ a $AC$ respectivamente. $P$ es el pie de la altura desde $A$ a $ED$ y $H$ el ortocentro de $ABC$. Sea $G\neq P$ la interseccion del circuncirculo de $BCP$ con $ED$. Demuestra que $GH$ y $AP$ concurren en el circuncirculo de $ABC$.

En un triangulo acutangulo $ABC$, sean $D$ el punto medio de $BC$ y $P$ un punto en el segmento $AD$. Las busectrices de los angulos $ABP$ y $ACP$ se intersecan en $Q$, Supon que $BQ$ es perpendicular a $QC$. Demuestra que $Q$ esta sobre el segmento $AP$.

La configuración:\nSea $ABC$ un triángulo, $\Gamma$ su circuncírculo, $A'$ el diametralmente opuesto a $A$ en $\Gamma$, $H$ su ortocentro, $D, E, F$ los pies de las alturas desde $A, B, C$ respectivamente, $H'$ la reflexión de $H$ por $BC$, $M$ el punto medio de $BC$, $\omega$ el círculo de diámetro $AH$, $Q \neq A$ la intersección de $\omega$ con $\Gamma$, $P$ la intersección de $AM$ con $\omega$, y $X$ la intersección de $EF$ con $BC$. \nNota: Conviene trabajar con un triángulo $ABC$ acutángulo para fines de este documento, pero la configuración tiene las mismas propiedades sin importar la forma del triángulo. Para triángulos isósceles muchos puntos se juntan. Por ejemplo, $A=Q$, $H=P$. Otros puntos como $X$, son puntos al infinito.\n\nColinealidades y concurrencias \n- $A', M, H, Q$ son colineales \n- $P, H, X$ son colineales \n- $A, Q, X$ son colineales \n- $PH, BC, EF, AQ$ concurren en $X$ \n\nCirculos:\n- $A, F, P, H, E, Q$ son concíclicos ($\omega$) \n- $B, F, E, C$ son concíclicos (con centro $M$) \n- $B, P, H, C$ son concíclicos \n- $B, F, Q, X$ son concíclicos (¿cuál es el análogo de esto con $C$ en lugar de $B$?) \n- $P, H, D, M$ son concíclicos \n- $A, P, D, X$ son concíclicos \n- $Q, H, D, X$ son concíclicos \n- $B, P, E, X$ son concíclicos \n- $C, P, F, X$ son concíclicos \n- $H' \in \Gamma$ \n- $F, E, M, D, K$ son concíclicos si $K$ es el punto medio de $AH$ (circunferencia de los nueve puntos de $ABC$) \n- $X$ es el centro radical de $\Gamma, \omega$ y la circunferencia de los nueve puntos de $ABC$ \n- $ME$ y $MF$ son tangentes a $\omega$ \n- La reflexión del circuncírculo de $BHC$ tanto por $M$ como por $BC$ es $\Gamma$. Por lo tanto, dicho círculo y $\Gamma$ tienen el mismo radio. \n- Las reflexiones de $P$ por $M$ y por $BC$ caen en $\Gamma$ \n- $P, D, K, Q$ es cíclico (ver en la sección ""ángulos"" que es la circunferencia de los nueve puntos de $AMX$)\n\nÁngulos \n- $HP$ es perpendicular a $AM$ ($HX$ es perpendicular a $AM$) \n- $AQ$ es perpendicular a $QH$ \n- $A'H'$ es paralela a $BC$ \n- $H$ es el ortocentro del triángulo $AMX$\n\nSimetría:\nEn esta sección mi objetivo es mostrar que $P$ y $Q$, los puntos más importantes de la configuración, son de alguna manera análogos de la misma forma en la que $B$ y $C$ lo son.\n- Si $B$ y $C$ intercambian roles, entonces $E, F$ intercambian roles y el resto del dibujo queda igual \n- Si $A, H$ intercambian roles, entonces $E, F$ y $P, Q$ intercambian roles. El resto del dibujo queda igual. Además, $\omega$ es el mismo círculo

Te tiene un tablero de ajedrez de $8\times 8$ y se eliminan dos de sus esquinas opuestas. Se dispone de una cantidad suficiente de dominos de $2\times 1$, tales que cada domino cubre exactamente $2$ cuadros del tablero de ajedrez. Determina si es posible cubrir el nuevo tablero sin esquinas opuestas con dominos de manera que estos no se traslapen ni salgan del tablero.