Sean $a$ y $b$ dos numeros, entonces los siguientes se cumplen: $(i)$ $a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+ ab^{n-2}+b^{n-1})$ $(ii)$ si $n$ es impar, $a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+\cdots-ab^{n-2}+b^{n-1})$ $(iii)$ $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$ $(iv)$ $a^4+4b^4=(a^2+2b^2)^2-(2ab)^2=(a^2-2ab+b^2)(a^2+2ab+b^2)$ $(v)$ $a^4+a^2+1=(a^2-a+1)(a^2+a+1)$ $(vi)$ $(a+b+c)(ab+bc+ca)=(a+b)(b+c)(c+a)+abc.$

Cuando tienes un polinomio con coeficiente enteros $P(x)=a_nx^n+\cdots+a_0$ y dos enteros $a,b$ entonces $a-b\mid P(a)-P(b)$.

Sea $ABC$ un triangulo, y sean $AD,BE$ y $CF$ tres cevianas que concurren. Sea $EF\cap BC=P$ entonces $(PD;BC)=-1$.

Al tener un problema de modulos, especialmente uno con productos o con exponentes. Puede ser mas util usar raices primitivas para replantear el problema. Si un problema pide encontrar cuando $p|a^3+1$, usando una raiz primitiva $r$ podemos replantear como $a=r^k$ y entonces $p|r^3k+1$ y sabemos que $r^3k=1$ si y solo si $3k\equiv \frac{p-1}{2} \text{ mod } p-1$. Por lo que $3\mid p-1$ y $k=\frac{p-1}{6}, \frac{p-1}{2}, \frac{5(p-1)}{6}$, o $a\equiv -1 \text{ mod } p$.

Dado un cuadrilatero ciclico $ABCD$ inscrito en un circulo en $\omega$, decimos que $ABCD$ es un cuadrilatero harmonico si alguna de las condiciones siguientes se cumple: 1) Para todo punto $P$ en $\omega$ tenemos que $P(AC;BD)=-1$ es un haz armonico. 2) Si $T$ es la interseccion de las tangentes a $\omega$ por $A$ y $C$ entonces $T,B,D$ son colineales.

Sean $a,b,c,n$ y $m$ enteros, las siguientes son varias propiedades que cumple la divisibilidad. 1. (Transitividad) Si $a\mid b$ y $b\mid c$ entonces $a\mid c$. 2. (Linealidad) Si $a\mid b$ y $a\mid c$ entonces $a\mid bm+cn$. 3. (Producto) Si $a\mid m$ y $b\mid n$ entonces $ab\mid mn$. 4. (Division) Si $am\mid bm$ entonces $a\mid b$. 5. Si $a\mid b$ y $a\nmid c$ entonces $a\nmid b+c$. 6. Si $am\nmid bm$ entonces $a\nmid b$. 7. Si $p$ es un número primo y $p\mid ab$ entonces $p\mid a$ o $p\mid b$.

Sea un triangulo $PQR$, con hortocentro $O$ y $D$ pie de la perpendicular desde $O$ a $QR$. Decimos que el triangulo $PQR$ es autopolar si las polares de cada vertice con respecto al hortocentro $O$ y radio $\sqrt{OP\cdot OD}$ son el lado opuesto, por ejemplo la polar de $P$ es $QR$. Una manera equivalente de definir los triangulos autopolares es tomar un cuadrilatero ciclico $ABCD$, con $O$ el centro de este circulo con radio $r$. Sean $P,Q,R$ las intersecciones de $AB$ con $CD$, $AD$ con $BC$ y $AC$ con $BD$. Entonces $P,Q,R$ es autopolar con respecto a $O$ con radio $r$.

Todo entero positivo $n$ tiene una descomposicion en primos única: $$n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_k^{\alpha_k}$$ con $p_i<p_{i+1}$.

Sea $p$ un primo. Decimos que un entero $k$, o más especificamente una congruencia modulo $p$, es una raíz primitiva si $$\{k, k^2, k^3,\ldots, k^{p-1}\}$$ son todas las congruencias modulo $p$. Mas en general se puede definir para $n$ donde en lugar de exponentes hasta $p-1$ se toma $\varphi(n)$. Para todo primo existe una raiz primitiva. Y para cada primo impar, $p^k, 2p^k$ tienen raices primitivas. Mas aun, solo $2,4,p^k$ y $2p^k$ son los unicos numeros con raices primitivas.