Sea $ABC$ un triángulo y sea $H$ su ortocentro. Sea $PQ$ un segmento que pasa por $H$ con $P$ en $AB$, $Q$ en $AC$ y tal que $\angle PHB=\angle CHQ$. Finalmente en el circuncírculo del triángulo $ABC$, considera $M$ el punto medio del arco $BC$ que no contiene a $A$. Muestra que $MP=MQ$.

Un entero positivo $a$ "se reduce" a un entero positivo $b$, si al dividir a entre su dígito de las unidades se obtiene $b$. Por ejemplo, $2015$ se reduce a $\frac{2015}{5}=403$. Encuentra todos los enteros positivos que, mediante algunas reducciones, llegan al número $1$. Por ejemplo, el número $12$ es uno de tales enteros pues $12$ se reduce a $6$ y $6$ se reduce a $1$.

Sea $n$ un entero positivo y $k$ un entero entre $1$ y $n$. Se tiene un tablero de $n\times n$ color blanco. Se hace el siguiente proceso. Se dibujan $k$ rectángulos con lados de longitud entera, con lados paralelos a los del tablero y tales que su esquina superior derecha coincide con la del tablero. Luego, estos $k$ rectángulos se rellenan de negro. Esto deja una figura blanca en el tablero. ¿Cuántas figuras blancas diferentes podemos obtener, que no se puedan obtener haciendo el proceso con menos de $k$ rectángulos?

Sean $a$, $b$ y $c$ números reales positivos tales que $a+b+c=3$. Muestra que\n$$\frac{a^2}{a+\sqrt[3]{bc}}+\frac{b^2}{b+\sqrt[3]{ca}}+\frac{c^2}{c+\sqrt[3]{ab}}\geq \frac{3}{2}$$\ny determina para qué números $a$, $b$ y $c$ se alcanza la igualdad.

En una cuadrícula de $n\times n$ se escriben los números del $1$ al $n^2$ en orden, por renglones, de manera que en el primer renglón aparecen los números del $1$ al $n$, en el segundo los números de $n+1$ a $2n$, y así sucesivamente. Una operación permitida en la cuadrícula consiste en escoger cualesquiera dos cuadraditos que compartan un lado y sumar (o restar) el mismo número entero a los dos números que aparecen en esos cuadraditos. Determina para qué valores de $n$ es posible lograr que todos los cuadraditos tengan escrito el número $0$ después de repetir la operación tantas veces como sea necesario y, en los casos en que sea posible, determina el mínimo número de operaciones necesarias.

Sea $ABCD$ un paralelogramo con ángulo obtuso en $A$. Sea $P$ un punto sobre el segmento $BD$ de manera que la circunferencia con centro en $P$ y que pasa por $A$, corte a la recta $AD$ en $A$ y $Y$, y corte a la recta $AB$ en $A$ y $X$. La recta $AP$ intersecta a $BC$ en $Q$ y a $CD$ en $R$, respectivamente. Muestra que $\angle XPY=\angle XQY+\angle XRY$.

Sea $ABCD$ un rectángulo con diagonales $AC$ y $BD$. Sean $E$ el punto de intersección de la bisectriz del ángulo $\angle CAD$ con el segmento $CD$, $F$ el punto sobre el segmento $CD$ tal que $E$ es el punto medio de $DF$ y $G$ el punto sobre la recta $BC$ tal que $BG=AC$ (con $C$ entre $B$ y $G$). Muestra que la circunferencia que pasa por $D,F$ y $G$ es tangente a $BG$.

Se escriben los números primos en orden, $p_1=2,p_2=3,p_3=5,\cdots$. Encuentra todas las parejas de números enteros positivos $a$ y $b$ con $a-b\geq 2$, tales que $p_a-p_b$ divide al número entero $2(a-b)$.

Sean $\Gamma_1$ una circunferencia y $P$ un punto fuera de $\Gamma_1$. Las tangentes desde $P$ a $\Gamma_1$ tocan a la circunferencia en los puntos $A$ y $B$. Considera $M$ el punto medio del segmento $PA$ y sea $\Gamma_2$ la circunferencia que pasa por los puntos $P$, $A$ y $B$. La recta $BM$ interseca de nuevo a $\Gamma_2$ en el punto $C$, la recta $CA$ interseca de nuevo a $\Gamma_1$ en el punto $D$, el segmento $DB$ interseca de nuevo a $\Gamma_2$ en el punto $E$ y la recta $PE$ interseca a $\Gamma_1$ en el punto $F$ (con $E$ entre $P$ y $F$). Muestra que las rectas $AF$, $BP$ y $CE$ concurren.

Para cada entero positivo $n$, sea $d(n)$ la cantidad de divisores positivos de $n$. Por ejemplo, los divisores positivos de $6$ son $1$, $2$, $3$ y $6$, por lo que $d(6)=4$. Encuentra todos los enteros positivos $n$ tales que $$n+d(n)=d(n)^2$$