Sea $n>1$ un entero impar y sean $a_1,a_2\cdots,a_n$ números reales distintos. Sea $M$ el mayor de estos números y sea $m$ el menor de ellos. Muestra que es posible escoger los signos en la expresión $s=\pm a_1\pm a_2\pm\cdots\pm a_n$ de manera que $$m<s<M$$

Considera un tablero de $(2^n-1)\times (2^n+1)$ casillas que se quiere dividir en rectángulos de tal forma que los lados de los rectángulos sean paralelos a los lados del tablero, de tal forma que el área (cantidad de casillas) de cada rectángulo sea una potencia de $3$. Encuentra la menor cantidad de rectángulos en las que se puede dividir el tablero.

En cada casilla de un tablero de $n\times n$ hay un foco. Inicialmente todos los focos están apagados. En un paso, se permite cambiar el estado de todos los focos en una fila o de todos los focos en una columna (los focos prendidos se apagan y los focos apagados se prenden). Muestra que si después de cierta cantidad de pasos hay uno o más focos prendidos entonces en ese momento hay al menos $n$ focos prendidos.

Considera un tablero de ajedrez. Los números del $1$ al $64$ se escriben en las casillas del tablero como en la figura. Se disponen de suficientes caballos de ajedrez para colocarlos en las casillas del tablero de manera que no se ataquen entre sí. Calcula la suma de los números de las casillas donde están colocados los caballos. ¿Cuál es la suma máxima que puedes obtener? Nota. Dos caballos se atacan entre sí, cuando se encuentran en $2$ esquinas opuestas de un rectángulo de $2\times 3$ o de $3\times 2$. *Figura Necesaria*

Sean $p,q,r$ números primos positivos distintos. Muestra que si $pqr$ divide a\n$$(pq)^r+(qr)^p+(rp)^q-1,$$\nentonces $(pqr)^3$ divide a\n$$3((pq)^r+(qr)^p+(rp)^q-1).$$

Un cubo de $n\times n\times n$ está construido con cubitos de $1\times 1\times 1$, algunos negros y otros blancos, de manera que en cada uno de los subprismas de $n\times 1\times 1$, de $1\times n \times 1$ y de $1\times 1\times n$ hay exactamente dos cubitos negros y entre ellos hay un número par (posiblemente $0$) de cubitos blancos intermedios. Muestra que es posible sustituir la mitad de los cubitos negros por cubitos blancos para que en cada subprisma de $n\times 1\times 1$, de $1\times n\times 1$ y de $1\times 1\times n$ haya exactamente un cubito negro.

Encuentra el menor entero positivo tal que al escribirlo en notación decimal utiliza exactamente dos dígitos distintos y que es divisible entre los números del $1$ al $9$. Nota: un ejemplo de un número que al escribirlo en notación decimal utiliza exactamente dos dígitos distintos es el $1121211222$.

¿Cuál es la mayor cantidad de elementos que puedes tomar del conjunto de números enteros $\{1,2,\cdots, 2013\}$, de tal manera que entre ellos no haya tres distintos, digamos $a$, $b$, $c$, tales que $a$ sea divisor o múltiplo de $b-c$?

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con vértices sobre una circunferencia $\Gamma$. Sea $\ell$ la recta tangente a $\Gamma$ en $A$. Sean $D$ y $E$ los puntos de intersección de la recta $\ell$ y del segmento $AC$ con la circunferencia de centro $B$ y radio $BA$, respectivamente. Muestra que $DE$ pasa por el ortocentro del triángulo $ABC$.

En los vértices de un cubo están escritos $8$ enteros positivos distintos y en cada una de las aristas del cubo está escrito el máximo común divisor de los números que están en los $2$ vértices que forman a la arista. Sean $A$ la suma de los números escritos en las aristas y $V$ la suma de los números escritos en los vértices. Muestra que $\frac{2}{3}A\leq V$ . ¿Es posible que $A=V$ ?