Encuentra todas las funciones $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tales que $$f(yf(x))+f(x-1)=f(x)f(y)$$ y $|f(x)|<2022$ para todo $0<x<1$.

Sea $n>2$ un entero positivo. En una fila se encuentran $n$ casillas pintadas de azul o de rojo. Decimos que un bloque es una sequencia de casillas consecutivas del mismo color. Arepito el cangrejo esta inicialmente en la casilla del extremo izquierdo. En cada turno cuenta el numero $m$ de casillas en el bloque mas grande que contiene a la casilla en la que se encuentra y hace una de las siguientes acciones: - Si la casilla en la que esta es azul y hay $m$ casillas a su derecha, se mueve $m$ casillas a la derecha. - Si la casilla en la que esta es roja y hay $m$ casillas a su izquierda, se mueve $m$ casillas a la izquierda. - En cualquier otro caso no se mueve de la casilla en la que esta. Para cada entero $n$ determina el menor entero $k$ para el cual existe una coloracion con $k$ casillas azules, en la cual Arepito llegara a la casilla del extremo derecho.

Encuentre todas las funciones $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tales que para cualesquiera números reales $x,y$ se tiene $$f(xf(x-y))+yf(x)=x+y+f(x^2).$$

Encuentra todas las funciones $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ tales que $$f(a)f(a+b)-ab$$ es un cuadrado perfecto para todo $a,b\in \mathbb{N}$.

Determina todos los polinomios $P(x)$ de grado $n\geq 1$ con coeficientes enteros tales que para todo numero real $x$ se cumple $$ P(x)=(x-P(0))(x-P(1))(x-P(2))\cdots (x-P(n-1))$$

Sea $ABC$ un trapecio con $AB\parallel CD$ e inscrito en la circunferencia $\Gamma$. Sean $P$ y $Q$ dos puntos en el segmento $AB$ ($A,P,Q,B$ están en ese orden y son distintos) tales que $AP=QB$. Sean $E$ y $F$ los segundos puntos de intersección de las rectas $CP$ y $CQ$ con $\Gamma$, respectivamente. Las rectas $AB$ y $EF$ se cortan en $G$. Demuestra que la recta $DG$ es tangente a $\Gamma$.

Para cada entero positivo $n$, $s(n)$ es la suma de los cuadrados de los digitos de $n$. Determina todos los enteros $n\geq 1$ tales que $s(n)=n$.

Las circunferencias $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ se cortan en dos puntos distintos $A$ y $K$. La tangente común a $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ más cercana a $K$ toca a $\Gamma_1$ en $B$ y a $\Gamma_2$ en $C$. Sean $P$ el pie de la perpendicular desde $B$ sobre $AC$, y $Q$ el pie de la perpendicular desde $C$ sobre $AB$. Si $E$ y $F$ son los puntos simétricos de $K$ respecto de las rectas $PQ$ y $BC$, demuestra que los puntos $A$, $E$ y $F$ son colineales.

Don Miguel coloca una ficha en alguno de los $(n+1)^2$ vértices determinados por un tablero de $n\times n$. Una jugada consiste en mover la ficha desde el vértice en el que se encuentra a un vértice adyacente en alguna de las ocho posibles direcciones: $\uparrow, \downarrow, \rightarrow, \leftarrow, \nearrow, \searrow, \swarrow, \nwarrow$, siempre y cuando no se salga del tablero. Un recorrido es una sucesión de jugadas tal que la ficha estuvo en cada uno de los $(n+1)^2$ vértices exactamente una vez. ¿Cuál es la mayor cantidad de jugadas diagonales ($\nearrow, \searrow, \swarrow, \nwarrow$) que en total puede tener el recorrido?

En un plano tenemos $n$ rectas sin que haya dos paralelas, ni dos perpendiculares, ni tres concurrentes. Se elige un sistema de ejes cartesianos con una de las $n$ rectas como eje de las abscisas. Un punto $P$ se sitúa en el origen de coordenadas del sistema elegido y comienza a moverse a velocidad constante por la parte positiva del eje de las abscisas. Cada vez que $P$ llega a la intersección de dos rectas, sigue por la recta recién alcanzada en el sentido que permite que el valor de la abscisa de $P$ sea siempre creciente. Demostrar que se puede elegir el sistema de ejes cartesianos de modo que $P$ pase por puntos de las $n$ rectas. Nota: El eje de las abscisas de un sistema de coordenadas del plano es el eje de la primera coordenada o eje de las $x$.