En un plano tenemos $n$ rectas sin que haya dos paralelas, ni dos perpendiculares, ni tres concurrentes. Se elige un sistema de ejes cartesianos con una de las $n$ rectas como eje de las abscisas. Un punto $P$ se sitúa en el origen de coordenadas del sistema elegido y comienza a moverse a velocidad constante por la parte positiva del eje de las abscisas. Cada vez que $P$ llega a la intersección de dos rectas, sigue por la recta recién alcanzada en el sentido que permite que el valor de la abscisa de $P$ sea siempre creciente. Demostrar que se puede elegir el sistema de ejes cartesianos de modo que $P$ pase por puntos de las $n$ rectas. Nota: El eje de las abscisas de un sistema de coordenadas del plano es el eje de la primera coordenada o eje de las $x$.

Para cada entero positivo $n$, sea $S(n)$ la suma de sus dígitos. Decimos que $n$ tiene la propiedad $P$ si los términos de la sucesión infinita $n, S(n), S(S(n)), S(S(S(n))), \ldots, $ son todos pares, y decimos que $n$ tiene la propiedad $I$ si los términos de esta sucesión son todos impares. Demuestra que entre todos los enteros positivos $n$ tales que $1\leq n\leq 2017$ son más los que tienen la propiedad $I$ que los que tienen la propiedad $P$.

Para cada numero natural $n\geq 2$, halla las soluciones enteras al siguiente sistema de ecuaciones: $$x_1=(x_2+x_3+x_4+\cdots+x_n)^{2018}$$ $$x_2=(x_1+x_3+x_4+\cdots+x_n)^{2018}$$ $$\vdots$$ $$x_n=(x_1+x_2+x_3+\cdots+x_{n-1})^{2018}$$

Sea $n$ un entero positivo. Para una permutación $a_1,a_2,\ldots, a_n$, de los números $1,2,\ldots,n$, definimos $$ b_k = \min_{1 \leq i \leq k} a_i + \max_{1 \leq j \leq k} a_j$$ para cada $k=1,2,\ldots, n$. Decimos que la permutación $a_1,a_2,\ldots, a_n$, es guadiana si la sucesión $b_1,b_2,\ldots, b_n$, no tiene dos elementos consecutivos iguales. ¿Cuántas permutaciones guadianas existen?

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AC>AB>BC$. Las mediatrices de $AC$ y $AB$ cortan a la recta $BC$ en $D$ y $E$, respectivamente. Sean $P$ y $Q$ puntos distintos de $A$ sobre las rectas $AC$ y $AB$, respectivamente, tales que $AB=BP$ y $AC=CQ$, y sea $K$ la intersección de las rectas $EP$ y $DQ$. Sea $M$ el punto medio de $BC$. Demuestra que $\angle DKA=\angle EKM$.

Consideramos las configuraciones de números enteros: $a_{1,1}$ $a_{2,1},a_{2,2}$ $a_{3,1}, a_{3,2}, a_{3,3}$ $\vdots$ $a_{2017,1}, a_{2017, 2}, \cdots, a_{2017,2017}$ con $a_{i,j}=a_{i+1,j}+a_{i+1,j+1}$ para todos los $i,j$ tales que $1\leq j\leq i\leq 2016$. Determina la maxima cantidad de enteros impares que puede tener una de estas configuraciones.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo cuya circunferencia circunscrita es $\Gamma$. Las tangentes a $\Gamma$ por $B$ y $C$ se cortan en $P$. Sobre el arco $AC$ que no contiene a $B$ se toma un punto $M$, distinto de $A$ y $C$, tal que la recta $AM$ corta a la recta $BC$ en $K$. Sean $R$ el punto simétrico de $P$ con respecto a la recta $AM$ y $Q$ el punto de intersección de las rectas $RA$ y $PM$. Sean $J$ el punto medio de $BC$ y $L$ el punto donde la recta paralela a $PR$ por $A$ corta a la recta $PJ$. Demuestra que los puntos $L$, $J$, $A$, $Q$ y $K$ están sobre una misma circunferencia.

Sea $ABC$ un triángulo tal que $\angle BAC=90^\circ$ y $BA=CA$. Sea $M$ el punto medio de $BC$. Un punto $D\neq A$ es elegido en la semicircunferencia de diámetro $BC$ que contiene a $A$. La circunferencia circunscrita al triángulo $DAM$ intersecta a las rectas $DB$ y $BC$ en los puntos $E$ y $F$, respectivamente. Demostrar que $BE=CF$.

Sean $ABC$ un triángulo rectángulo y $\Gamma$ su circunferencia circunscrita. Sea $D$ un punto en el segmento $BC$, distinto de $B$ y de $C$, y sea $M$ el punto medio de $AD$. La recta perpendicular a $AB$ que pasa por $D$ corta a $AB$ en $E$ y a $\Gamma$ en $F$, con el punto $D$ entre $E$ y $F$. Las rectas $FC$ y $EM$ se cortan en el punto $X$. Si $\angle DAE=\angle AFE$, demuestra que la recta $AX$ es tangente a $\Gamma$.

Un conjunto $X$ de enteros positivos es ibérico si $X$ es un subconjunto de $\{2,3,4,\ldots, 2018\}$, y siempre que $m$ y $n$ pertenezcan a $X$, entonces el $mcd(m,n)$ pertenece también a $X$. Un conjunto ibérico es olímpico si no está contenido en ningún otro conjunto ibérico. Encontrar todos los conjuntos ibéricos olímpicos que contienen el número $33$.