Una recta $r$ contiene los puntos $A$, $B$, $C$ y $D$ en ese orden. Sea $P$ un punto fuera de $r$ tal que $\angle APB=\angle CPD$. Pruebe que la bisectriz de $\angle APD$ corta a $r$ en un punto $G$ tal que $$\frac{1}{GA}+\frac{1}{GC}=\frac{1}{GB}+\frac{1}{GD}$$

Sean $\alpha$ y $\beta$ raíces del polinomio $x^2-qx+1$, donde $q$ es un número racional mayor que $2$. Se define $s_1=\alpha+\beta$, $t_1=1$ y, para cada entero $n\geq 2$, $$s_n=\alpha^n+\beta^n, t_n=s_{n-1}+2s_{n-2}+\cdots+(n-1)s_1+n$$ Demuestre que, para todo $n$ impar, $t_n$ es el cuadrado de un número racional.

Sean $ABC$ un triángulo acutángulo con $AC>AB$ y $O$ su circuncentro. Sea $D$ un punto en el segmento $BC$ tal que $O$ está en el interior del triángulo $ADC$ y $\angle DAO+\angle ADB=\angle ADC$. Llamamos $P$ y $Q$ a los circuncentros de los triángulos $ABD$ y $ACD$, respectivamente, y $M$ al punto de intersección de las rectas $BP$ y $CQ$. Demuestra que las rectas $AM$, $PQ$ y $BC$ son concurrentes.

Determinar el mayor número de alfiles que se pueden colocar en un tablero de ajedrez de $8\times 8$, de forma que no haya dos alfiles en la misma casilla y cada alfil sea amenazado como máximo por uno de los otros alfiles.

Sea $k$ un entero positivo y $a_1,a_2,\ldots, a_k$ dígitos. Demuestra que existe un entero positivo $n$ tal que los últimos $2k$ dígitos de $2^n$ son, en este orden, $a_1,a_2,\ldots,a_k,b_1,b_2,\ldots,b_k$, para ciertos dígitos $b_1,b_2,\ldots,b_k$.

Determinar todos los números primos positivos $p,q,r,k$ tales que $$pq+qr+rp=12k+1$$

Determine todos los pares $(a,b)$ de números enteros que verifican $$(b^2+7(a-b))^2=a^3b$$

Encontrar todas las soluciones reales positivas del sistema de ecuaciones $$x=\frac{1}{y^2+y-1}, y=\frac{1}{z^2+z-1}, z=\frac{1}{x^2+x-1}$$

En el triángulo acutángulo $ABC$, el punto $D$ es el pie de la perpendicular desde $A$ sobre el lado $BC$. Sea $P$ un punto del segmento $AD$. Las rectas $BP$ y $CP$ cortan a los lados $AC$ y $AB$ en $E$ y $F$ respectivamente. Sean $J$ y $K$ los pies de las perpendiculares desde $E$ y $F$ sobre $AD$ respectivamente. Demuestra que $$\frac{FK}{KD}=\frac{EJ}{JD}$$

Beto juega con su computadora al siguiente juego: inicialmente su computadora elige al azar $30$ números del $1$ a $2015$, y Beto los escribe en un pizarrón (puede haber números repetidos); en cada paso, Beto elige un entero positivo $k$ y algunos de los números escritos en el pizarrón, y le resta a cada uno de ellos el número $k$, con la condición de que los números resultantes sigan siendo no negativos. El objetivo del juego es lograr que en algún momento los $30$ números resultantes sean iguales a $0$, en cuyo caso el juego termina. Determine el menor número $n$ tal que, independientemente de los números que inicialmente eligió su computadora, Beto pueda terminar el juego en a lo sumo $n$ pasos.