El número $125$ se puede representar como suma de varios números naturales que son mayores que $1$ y coprimos dos a dos. Encuentre el máximo número de sumandos que puede tener tal representación.

Dado un entero positivo $n$, se escriben todos sus divisores enteros positivos en un pizarrón. Ana y Beto juegan al siguiente juego: Por turnos, cada uno va a pintar uno de esos divisores de rojo o azul. Pueden elegir el color que deseen en cada turno, pero solo pueden pintar números que no hayan sido pintados con anterioridad. El juego termina cuando todos los números han sido pintados. Si el producto de los números pintados de rojo es un cuadrado perfecto, o si no hay ningún número pintado de rojo, gana Ana; de lo contrario, gana Beto. Si Ana tiene el primer turno, determinar para cada $n$ quién tiene estrategia ganadora.

Sea $n>2$ un entero positivo par y $a_1<a_2<\cdots<a_n$ numeros reales tales que $a_{k+1}-a_k\leq 1$ para todo $k$ con $1\leq k\leq n-1$. Sea $A$ el conjunto de pares $(i,j)$ con $1\leq i<j\leq n$ y $j-i$ par, y sea $B$ el conjunto de pares $(i,j)$ con $1\leq i<j\leq n$ y $j-i$ impar. Demuestra que \n$$\prod_{(i,j) \in A} (a_j - a_i) > \prod_{(i,j) \in B} (a_j - a_i)$$

Sobre una circunferencia se marcan $2014$ puntos. Sobre cada uno de los segmentos cuyos extremos son dos de los $2014$ puntos, se escribe un número real no negativo. Se sabe que para cualquier polígono convexo cuyos vértices son algunos de los $2014$ puntos, la suma de los números escritos en sus lados es menor o igual que $1$. Determine el máximo valor posible de la suma de todos los números escritos.

Para cada entero positivo $n$, se define $s(n)$ como la suma de los dígitos de $n$. Determine el menor entero positivo $k$ tal que $$s(k)=s(2k)=s(3k)=\cdots =s(2014k)$$

Halla todos los polinomios $P(x)$ con coeficientes reales tales que $P(2014)=1$ y, para algún entero $c$, se cumple que $$xP(x-c)=(x-2014)P(x)$$

Sea $\Gamma$ una circunferencia de centro $O$, $AE$ un diámetro de $\Gamma$ y $B$ el punto medio de uno de los arcos $AE$ de $\Gamma$. El punto $D\neq E$ está sobre el segmento $OE$. El punto $C$ es tal que el cuadrilátero $ABCD$ es un paralelogramo con $AB$ paralelo a $CD$ y $BC$ paralelo a $AD$. Las rectas $EB$ y $CD$ se cortan en el punto $F$. La recta $OF$ corta al arco menor $EB$ de $\Gamma$ en el punto $I$. Demuestra que la recta $EI$ es la bisectriz del ángulo $\angle BEC$.

Sobre un rectángulo $ABCD$ se dibujan triángulos equiláteros $BCX$ y $DCY$ de modo que cada uno comparte puntos con el interior del rectángulo. La recta $AX$ corta a la recta $CD$ en $P$. La recta $AY$ corta a la recta $BC$ en $Q$. Demuestra que el triángulo $APQ$ es equilátero.

Ana, Beto, Carlos, Diana, Elena y Fabián se encuentran en un círculo, ubicados en ese orden. Cada uno de Ana, Beto, Carlos, Diana, Elena y Fabián tienen un papel, en los cuales están escritos inicialmente los números reales $a,b,c,d,e,f$, respectivamente. Al final de cada minuto, todas las personas reemplazan simultáneamente el número de su papel por la suma de tres números; los que había al principio del minuto en su papel y en los papeles de sus dos vecinos. Al final del minuto $2022$ se han hecho $2022$ reemplazos y cada persona tiene escrito en su papel su número inicial. Determina todos los podibles valores de $abc+def$.

Demuestra que para todo entero positivo $n$ existen $n$ enteros positivos consecutivos tales que ninguno de ellos es divisible por la suma de sus dígitos.