Sea $A_1A_2A_3A_4$ un rectángulo y sean $S_1,S_2,S_3,S_4$ cuatro circunferencias dentro del rectangulo tales que $S_k$ y $S_{k+1}$ son tangentes externamente y ambas son tangentes al lado $A_kA_{k+1}$ para $k=1,2,3,4$ donde $A_5=A_1$ y $S_5=S_1$. Demuestra que $A_1A_2A_3A_4$ es un cuadrado.

Se tienen $N$ monedas, de las cuales $N-1$ son auténticas de igual peso y una es falsa, de peso diferente a las demás. El objetivo es, utilizando exclusivamente una balanza de dos platos, hallar la moneda falsa y determinar si es más pesada o más liviana que las auténticas. Cada vez que se pueda deducir que una o varias monedas son auténticas, entonces todas esas monedas se separan inmediatamente y no se pueden usar en las siguientes pesadas. Determine todos los $N$ para los que se puede lograr con certeza el objetivo. (Se pueden hacer tantas pesadas como se desee.)

Sea $A=\{1,2,3,\ldots, n\}$ con $n>5$. Demuestra que existe un conjunto finito $B$ de enteros positivos distintos tal que $A\subseteq B$ y tiene la propiedad $$\prod_{x\in B}x=\sum_{x\in B}x^2.$$

Dado un conjunto $X$ y una función $f:X\to X$, denotamos, para cada $x\in X$, $f^1=f(x)$ y, para cada $j\geq 1$, $f^{j+1}=f(f^j(x))$. Decimos que $a\in X$ es un punto fijo de $f$ si $f(a)=a$. Para cada número real $x$, definimos $\pi(x)$ como la cantidad de primos positivos menores o iguales que $x$. Dado un número entero positivo $n$, decimos que $f:\{1,2,\ldots, n\}\to\{1,2,\ldots,n\}$ es catracha si $f^{f(k)}=k$ para todo $k\in\{1,2,\ldots,n\}$. Prueba que: a. Si $f$ es catracha, entonces $f$ tiene al menos $\pi(n)-\pi(\sqrt{n})+1$ puntos fijos. b. Si $n\geq 36$, existe una función catracha con exactamente $\pi(n)-\pi(\sqrt{n})+1$ puntos fijos.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con ortocentro $H$ y circuncentro $O$. Sea $D$ la intersección de las rectas $AO$ y $BH$. Sea $P$ el punto del segmento $AB$ tal que $PH=PD$. Demuestre que los puntos $B,D,O$ y $P$ están en una misma circunferencia.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y $H$ el punto de intersección de las alturas. La altura desde $A$ corta a $BC$ en $D$. Sean $M$ y $N$ los puntos medios de $BH$ y $CH$, respectivamente. $DM$ y $DN$ intersecan a $AB$ y $AC$ en $X$ y $Y$, respectivamente. Si $XY$ interseca a $BH$ en $P$ y a $CH$ en $Q$, demuestre que $H$, $P$, $D$ y $Q$ están en una misma circunferencia.

Esteban el aqluimista tiene $8088$ piezas de cobre, $6066$ piezas de bronce, $4044$ piezas de plata y $2022$ piezas de oro. Él puede tomar dos piezas de metales distintos y usar un martillo mágico para convertirlas en dos piezas de metales distintos a los que tomó y distintos entr sí. Determine el mayor número de piezas de oro que puede obtener Esteban después de haber usado el martillo mágico un número finito de veces.

Sean $X,Y$ los extremos de un diámetro de una circunferencia $\Gamma$ y $N$ el punto medio de uno de los arcos $XY$ de $\Gamma$. Sean $A$ y $B$ dos puntos en el segmento $XY$. Las rectas $NA$ y $NB$ cortan nuevamente a $\Gamma$ en los puntos $C$ y $D$, respectivamente. Las tangentes a $\Gamma$ en $C$ y $D$ se cortan en $P$. Sea $M$ el punto de intersección del segmento $XY$ con el segmento $NP$. Demustra que $M$ es el punto medio del segmento $AB$.

Un entero positivo es bisumado si se puede escribir como suma de dos enteros positivos que tengan la misma suma de sus dígitos. Por ejemplo, $2012$ es bisumado pues $2012=1005+7$ y tanto $2005$ como $7$ tienen suma de dígitos igual a $7$. Encuentra todos los enteros positivos que no son bisumados.

Una configuración es un conjunto finito $S$ de puntos del plano entre los cuales no hay tres colineales y a cada punto se le asigna algún color, de modo que si un triángulo cuyos vértices están en $S$ tiene un ángulo mayor o igual a $120^\circ$, entonces exactamente dos de sus vértices son de un mismo color. Hallar el número máximo de puntos que puede tener una configuración.