La circunferencia $\Gamma$ inscrita al triángulo escaleno $ABC$ es tangente a los lados $BC$, $CA$ y $AB$ en los puntos $D$, $E$ y $F$, respectivamente. La recta $EF$ corta a la recta $BC$ en $G$. La circunferencia de diámetro $GD$ corta a $\Gamma$ en $R$ ($R\neq D$). Sean $P$ y $Q$ ($P\neq R$, $Q\neq R$) las intersecciones de $BR$ y $CR$ con $\Gamma$, respectivamente. Las rectas $BQ$ y $CP$ se cortan en $X$. La circunferencia circunscrita a $CDE$ corta al segmento $QR$ en $M$ y la circunferencia circunscrita a $BDF$ corta al segmento $PR$ en $N$. Demuestra que las rectas $PM$, $QN$ y $RX$ son concurrentes.

Alrededor de una circunferencia se marcan $6000$ puntos y cada uno se colorea con uno de $10$ colores dados, de manera tal que entre cualesquiera $100$ puntos consecutivos siempre figuran los $10$ colores. Hallar el menor valor $k$ con la siguiente propiedad: Para toda coloración de este tipo existen $k$ puntos consecutivos entre los cuales figuran los $10$ colores.

Sea $ABC$ un triángulo, y $X$, $Y$, $Z$ puntos sobre los lados $BC$, $AC$, $AB$ respectivamente. Sean $A'$, $B'$, $C'$ los circuncentros correspondientes a los triángulos $AZY$, $BXZ$, $CYX$. Demuestra que $$(A'B'C')\geq \frac{(ABC)}{4}$$ y que la igualdad se cumple si y sólo si las rectas $AA'$, $BB'$, $CC'$ tienen un punto en común. Nota: para un triángulo $RST$, denotamos su área por $(RST)$.

Sean $ABC$ un triángulo con incentro $I$ y $\Gamma$ una circunferencia de centro $I$, de radio mayor al de la circunferencia inscrita y que no pasa por ninguno de los vértices. Sean $X_1$ el punto de intersección de $\Gamma$ con la recta $AB$ más cercano a $B$; $X_2$, $X_3$ los puntos de intersección de $\Gamma$ con la recta $BC$ siendo $X_2$ más cercano a $B$; y $X_4$ el punto de intersección de $\Gamma$ con la recta $CA$ más cercano a $C$. Sea $K$ el punto de intersección de las rectas $X_1X_2$ y $X_3X_4$. Demuestra que $AK$ corta al segmento $X_2X_3$ en su punto medio.

Sea $n$ un entero positivo y $x_1,x_2,\ldots x_n$ números reales positivos. Demuestra que existen $a_1,a_2,\ldots, a_n\in \{-1,1\}$ tales que\n$$a_1 x_1^2 + \cdots + a_n x_n^2 \geq (a_1 x_1 + \cdots + a_n x_n)^2.$$

Una pulga salta sobre puntos enteros de la recta numérica. En su primer movimiento salta desde el punto $0$ y cae en el punto $1$. Luego, si en un movimiento la pulga saltó desde el punto $a$ y cayó en el punto $b$, en el siguiente movimiento salta desde el punto $b$ y cae en uno de los puntos $b+(b-a)-1$, $b+(b-a)$, $b+(b-a)+1$. Demuestre que si la pulga ha caído dos veces sobre el punto $n$, para $n$ un entero positivo, entonces ha debido hacer al menos $\lceil 2\sqrt{n}\rceil$ movimientos.

En un tablero cuadriculado de $19\times 19$, una ficha llamada dragón da saltos de la siguiente forma: se desplaza $4$ casillas en una dirección paralela a uno de los lados del tablero y $1$ casilla en dirección perpendicular a la anterior. Se sabe que, con este tipo de saltos, el dragón puede moverse de cualquier casilla a cualquier otra. La distancia dragoniana entre dos casillas es el menor número de saltos que el dragón debe dar para moverse de una casilla a otra. Sea $C$ una casilla situada en una esquina del tablero y sea $V$ la casilla vecina a $C$ que le toca en un único punto. Demuestra que existe alguna casilla $X$ del tablero tal que la distancia dragoniana de $C$ a $X$ es mayor que la distancia dragoniana de $C$ a $V$.

Sea $F$ la familia de todos los hexágonos convexos $H$ que satisfacen las siguientes condiciones: a. los lados opuestos de $H$ son paralelos; b. tres vértices cualesquiera de $H$ se pueden cubrir con una franja de ancho $1$. Determinar el menor número real $l$ tal que cada uno de los hexágonos de la familia $F$ se puede cubrir con una franja de ancho $l$. Nota: Una franja de ancho es la región del plano comprendida entre dos rectas paralelas que están a distancia (incluidas ambas rectas paralelas).

Sea $ABC$ un triángulo escaleno y $r$ la bisectriz externa del ángulo $\angle ABC$. Se consideran $P$ y $Q$, los pies de las perpendiculares a la recta $r$ que pasan por $A$ y $C$ respectivamente. Las rectas $CP$ y $AB$ se intersecan en $M$ y las rectas $AQ$ y $BC$ se intersecan en $N$. Demuestra que las rectas $AC$, $MN$ y $r$ tienen un punto en común.

Un número natural $n$ es atrevido si el conjunto de sus divisores, incluyendo al $1$ y al $n$, se puede dividir en tres subconjuntos tales que la suma de los elementos de cada subconjunto es la misma en los tres. ¿Cuál es la menor cantidad de divisores que puede tener un número atrevido?