Los números $1,2,\ldots, n^2$ se colocan en las casillas de una cuadrícula de $n\times n$, en algún orden, un número por casilla. Una ficha se encuentra inicialmente en la casilla con el número $n^2$. En cada paso, la ficha puede avanzar a cualquiera de las casillas que comparten un lado con la casilla donde se encuentra. Primero, la ficha viaja a la casilla con el número $1$, y para ello toma uno de los caminos más cortos (con menos pasos) entre la casilla con el número $n^2$ y la casilla con el número $1$. Desde la casilla con el número $1$ viaja a la casilla con el número $2$, desde allí a la casilla con el número $3$, y así sucesivamente, hasta que regresa a la casilla inicial, tomando en cada uno de los viajes el camino más corto. El recorrido completo le toma a la ficha $N$ pasos. Determine el menor y mayor valor posible de $N$.

En el triángulo escaleno $ABC$, con $\angle BAC=90^\circ$, se consideran las circunferencias inscrita y circunscrita. La recta tangente en $A$ a la circunferencia circunscrita corta a la recta $BC$ en $M$. Sean $S$ y $R$ los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita con los catetos $AC$ y $AB$, respectivamente. La recta $RS$ corta a la recta $BC$ en $N$. Las rectas $AM$ y $SR$ se cortan en $U$. Demuestre que el triángulo $UMN$ es isósceles.

Determine todas las ternas de números reales $(x,y,z)$ que satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones: $$xyz=8$$ $$x^2y+y^2z+z^2x=73$$ $$x(y-z)^2+y(z-x)^2+z(x-y)^2=98.$$

Se consideran $n$ números reales $a_1,a_2,\ldots, a_n$ no necesariamente distintos. Sea $d$ la diferencia entre el mayor y el menor de ellos y sea:\n$$s=\sum_{i<j} |a_i-a_j|$$ \nDemuestra que:\n$$(n-1)d\leq s\leq \frac{n^2d}{4}$$\ny determine las condiciones que deben cumplir estos $n$ números para que se verifique cada una de las igualdades.

Dada una circunferencia $\Gamma$, considere un cuadrilátero $ABCD$ con sus cuatro lados tangentes a $\Gamma$, con $AD$ tangente a $\Gamma$ en $P$ y $CD$ tangente a $\Gamma$ en $Q$. Sean $X$ e $Y$ los puntos donde $BD$ corta a $\Gamma$, y $M$ el punto medio de $XY$. Demuestra que $\angle AMP=\angle CMQ$.

Determine todas las parejas $(a,b)$ de enteros positivos tales que $2a+1$ y $2b-1$ sean primos relativos y $a+b$ divida a $4ab+1$.

Sea $n>1$ un entero impar. Sean $P_0$ y $P_1$ dos vértices consecutivos de un polígono regular de $n$ lados. Para cada $k\geq 2$, se define como el vértice del polígono dado que se encuentra en la mediatriz de $P_{k-1}P_{k-2}$. Determina para qué valores de $n$ la sucesión $P_0,P_1,P_2\ldots$, recorre todos los vértices del polígono.

Se considera en el plano una circunferencia de centro $O$ y radio $r$ y un punto $A$ exterior a ella. Sea $M$ un punto de la circunferencia y $N$ el punto diametralmente opuesto a $M$. Hallar el lugar geométrico de los centros de las circunferencias que pasan por $A$, $M$ y $N$ al variar $M$.

Sea $p$ mayor que $3$ un número primo. Si $$\frac{1}{1^p} + \frac{1}{2^p} + \frac{1}{3^p} + \cdots + \frac{1}{(p-1)^p} = \frac{n}{m}$$ donde el máximo común divisor de $n$ y $m$ es $1$, demuestra que $p^3$ divide a $n$.

Dados dos enteros positivos $a$ y $b$, se denota por $a \nabla b$ el residuo que se obtiene al dividir $a$ entre $b$. Este residuo es uno de los números $0,1,\ldots, b-1$. Encuentre todas las parejas de números $(a,p)$ tales que $p$ es primo y se cumple que $$(a \nabla p) + (a \nabla 2p) + (a \nabla 3p) + (a \nabla 4p) = a + p$$