Dado un entero positivo $n$, en un plano se consideran $2n$ puntos alineados $A_1,A_2,\ldots, A_{2n}$. Cada punto se colorea de azul o de rojo mediante el siguiente procedimiento: En el plano se trazan $n$ circunferencias con diámetros de extremos $A_i$ y $A_j$, disjuntas dos a dos. Cada $A_k$, $1\leq k\leq 2n$, pertenece exactamente a una circunferencia. Se colorean los puntos de modo que los dos puntos de una misma circunferencia lleven el mismo color. Determine cuántas coloraciones distintas de los $2n$ puntos se pueden obtener al variar las $n$ circunferencias y la distribución de los colores.

Sea $O$ el circuncentro de un triángulo acutángulo $ABC$ y $A_1$ un punto en el arco menor $BC$ de la circunferencia circunscrita al triángulo $ABC$. Sean $A_2$ y $A_3$ puntos en los lados $AB$ y $AC$ respectivamente tales que $\angle BA_1A_2=\angle OAC$ y $\angle CA_1A_3=\angle OAB$. Demuestra que la recta $A_2A_3$ pasa por el ortocentro del triángulo $ABC$.

Se deben colorear casillas de un tablero de $1001\times 1001$ de acuerdo a las reglas siguientes: - Si dos casillas tienen un lado común, entonces al menos una de ellas se debe colorear. - De cada seis casillas consecutivas de una fila o de una columna, siempre se deben colorear al menos dos de ellas que sean adyacentes. Determina el número mínimo de casillas que se deben colorear.

Dos ardillas, Ardi y Dilla, han recolectado $2021$ nueces para el invierno. Ardi numera las nueces desde $1$ hasta $2021$, y excava $2021$ pequeños hoyos en el suelo en una disposición circular alrededor de su árbol favorito. A la mañana siguiente, Ardi observa que Dilla ha colocado una nuez en cada hoyo, pero sin tener en cuenta la numeración. No contenta con esto, Ardi decide reordenar las nueces realizando una secuencia de $2021$ movimientos. En el $k$-ésimo movimiento Ardi intercambia las posiciones de las dos nueces adyacentes a la nuez con el número $k$. Prueba que existe un valor de $k$ tal que, en el $k$-ésimo movimiento, las nueces intercambiadas tienen números $a$ y $b$ tales que $a<k<b$.

Sean $n$ y $k$ enteros positivos tales que o bien $n$ es impar o bien $n$ y $k$ son pares. Probar que existen enteros $a$ y $b$ tales que $$\mathrm{mcd}(a,n) = \mathrm{mcd}(b,n) = 1, \hspace{2mm} k=a+b.$$

Dado un triángulo escaleno $ABC$, se llaman $A'$, $B'$ y $C'$ a los puntos de intersección de las bisectrices interiores de los ángulos $\angle A$, $\angle B$ y $\angle C$ con los lados opuestos, respectivamente. Sea $A''$ la intersección de $BC$ con la mediatriz de $AA'$, $B''$ la intersección de $AC$ con la mediatriz de $BB'$ y $C''$ la intersección de $AB$ con la mediatriz de $CC'$. Probar que $A''$, $B''$ y $C''$ son colineales.

Determinar todas las parejas $(a,b)$, donde $a$ y $b$ son enteros positivos de dos dígitos cada uno, tales que $100a+b$ y $201a+b$ son cuadrados perfectos de cuatro dígitos.

a. Se tienen dos sucesiones, cada una de $2003$ enteros consecutivos, y un tablero de $2$ filas y $2003$ columnas. Decida si siempre es posible distribuir los números de la primera sucesión en la primera fila y los de la segunda sucesión en la segunda fila, de tal manera que los resultados obtenidos al sumar los dos números de cada columna formen una nueva sucesión de $2003$ números consecutivos. b. ¿Y si se reemplaza $2003$ por $2004$?

Para un conjunto $H$ de puntos en el plano, se dice que un punto $P$ del plano es un punto de corte de $H$ si existen cuatro puntos distintos $A$, $B$, $C$ y $D$ en $H$ tales que las rectas $AB$ y $CD$ son distintas y se cortan en $P$. Dado un conjunto finito $A_0$ de puntos en el plano, se construye una sucesión de conjuntos $A_1,A_2,A_3,\ldots$ de la siguiente manera: para cualquier $j\geq 0$, $A_{j+1}$ es la unión de $A_j$ con el conjunto de todos los puntos de corte de $A_j$. Demostrar que si la unión de todos los conjuntos de la sucesión es un conjunto finito, entonces para cualquier $j\geq 1$ se tiene que $A_j=A_1$.

Sean $C$ y $D$ dos puntos de la semicircunferencia de diámetro $AB$ tales que $B$ y $C$ están en los semiplanos distintos respecto de la recta $AD$. Denotemos $M$, $N$ y $P$ los puntos medios de $AC$, $DB$ y $CD$, respectivamente. Sean $O_A$ y $O_B$ los circuncentros de los triángulos $ACP$ y $BDP$. Demuestra que las rectas $O_AO_B$ y $MN$ son paralelas.