Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico cuyas diagonales $AC$ y $BD$ son perpendiculares. Sean $O$ el circuncentro de $ABCD$, $K$ la intersección de las diagonales, $L\neq O$ la intersección de las circunferencias circunscritas a $OAC$ y $OBD$, y $G$ la intersección de las diagonales del cuadrilátero cuyos vértices son los puntos medios de los lados de $ABCD$. Prueba que $O$, $K$, $L$ y $G$ están alineados.

Sea $M=\{1,2,\ldots, 49\}$ el conjunto de los primeros $49$ enteros positivos. Determine el máximo entero $k$ tal que el conjunto $M$ tiene un subconjunto de $k$ elementos en el que no hay $6$ números consecutivos. Para ese valor máximo de $k$, halle la cantidad de subconjuntos de $M$, de $k$ elementos, que tienen la propiedad mencionada.

Pablo estaba copiando el siguiente problema: Considere todas las sucesiones de $2004$ números reales $(x_0,x_1,\ldots,x_{2003})$, tales que $$x_0=1, \hspace{2mm} 0\leq x_1\leq 2x_0, \hspace{2mm} 0\leq x_2\leq 2x_1,\hspace{2mm} \cdots, \hspace{2mm} 0\leq x_{2003}\leq 2x_{2002}$$ Entre todas estas sucesiones, determine aquella para la cual la siguiente expresión toma su mayor valor: $S=\cdots$. Cuando Pablo iba a copiar la expresión de $S$ le borraron la pizarra. Lo único que pudo recordar es que $S$ era de la forma $$S=\pm x_1\pm x_2 \pm\cdots\pm x_{2002}+x_{2003}$$ donde el último término, $x_{2003}$, tenía coeficiente $+1$, y los anteriores tenían coeficiente $+1$ ó $-1$. Demuestre que Pablo, a pesar de no tener el enunciado completo, puede determinar con certeza la solución del problema.

Se definen las sucesiones$(a_n)_{n\geq 0}$ , $(b_n)_{n\geq 0}$ por: $$a_0=1,\hspace{2mm} b_0=4,\hspace{2mm} a_{n+1}=a_n^{2001}+b_n, \hspace{2mm} b_{n+1}=b_n^{2001}+a_n$$ Demuestra que $2003$ no divide a ninguno de los términos de estas sucesiones.

Dado cualquier conjunto de $9$ puntos en el plano de los cuales no hay tres colineales, demuestre que para cada punto $P$ del conjunto, el número de triángulos que tienen como vértices a tres de los ocho puntos restantes y a $P$ en su interior, es par.

En el cuadrado $ABCD$, sean $P$ y $Q$ puntos pertenecientes a los lados $BC$ y $CD$ respectivamente, distintos de los extremos, tales que $BP=CQ$. Se consideran puntos $X$ e $Y$, $X\neq Y$, pertenecientes a los segmentos $AP$ y $AQ$ respectivamente. Demuestra que, cualesquiera puntos sean $X$ e $Y$, existe un triángulo cuyos lados tienen las longitudes de los segmentos $BX$, $XY$ y $DY$.

Un punto $P$ es interior al triángulo equilátero $ABC$ y cumple que $\angle APC=120^\circ$. Sea $M$ la intersección de $CP$ con $AB$ y $N$ la intersección de $AP$ con $BC$. Halla el lugar geométrico del circuncentro del triángulo $MBN$ al variar $P$.

En un triángulo escaleno $ABC$ se traza la bisectriz interior $BD$, con $D$ sobre $AC$. Sean $E$ y $F$, los pies de las perpendiculares trazadas desde $A$ y $C$ hacia la recta $BD$, respectivamente, y sea $M$ el punto sobre el lado $BC$ tal que $DM$ es perpendicular a $BC$. Demuestra que $\angle EMD=\angle DMF$.

Los números enteros del $1$ al $200$, ambos inclusive, se escriben en una pizarra en orden creciente $1,2,\ldots, 2002$. Luego, se borran los que ocupan el primer lugar, cuarto lugar, séptimo lugar, etc., es decir, los que ocupan los lugares de la forma $3k+1$. En la nueva lista se borran los números que están en los lugares de la forma $3k+1$. Se repite este proceso hasta que se borran todos los números de la lista. ¿Cuál fue el último número que se borró?

Un policía intenta capturar a un ladrón en un tablero de $2001\times 2001$. Ellos juegan alternadamente. Cada jugador, en su turno, debe moverse una casilla en uno de los tres sentidos $\downarrow, \rightarrow, \nwarrow$. Si el policía se encuentra en la casilla de la esquina inferior derecha, puede usar su jugada para pasar directamente a la casilla de la esquina superior izquierda (el ladrón no puede hacer esta jugada). Inicialmente el policía está en la casilla central y el ladrón está en la casilla vecina diagonal superior derecha al policía. El policía comienza el juego. Demuestra que: a. El ladrón consigue moverse por lo menos $10000$ turnos sin ser capturado. b. El policía posee una estrategia para capturar al ladrón. Nota: El policía captura al ladrón cuando entra en la casilla en la que está el ladrón. Si el ladrón entra en la casilla del policía, no se produce captura.