La sucesión de números reales $a_1,a_2,\ldots,$ se define como:\n $$a_1=56,\hspace{2mm} a_{n+1}=a_n-\frac{1}{a_n}$$\npara cada entero $n\geq 1$.\nDemuestra que existe un entero $k$, $1\leq k\leq 2002$, tal que $a_k<0$.

Decimos que un número natural $n$ es "charrúa" si satisface simultáneamente las siguientes condiciones: - Todos los dígitos de $n$ son mayores que $1$. - Siempre que se multipliquen cuatro dígitos de $n$, se obtiene un divisor de $n$. Demuestra que para cada número natural $k$ existe un número charrúa con más de $k$ dígitos.

La circunferencia inscrita en el triángulo $ABC$ tiene centro $O$ y es tangente a los lados $BC$, $AC$ y $AB$ en los puntos $X$, $Y$ y $Z$, respectivamente. Las rectas $BO$ y $CO$ intersecan a la recta $YZ$ en los puntos $P$ y $Q$, respectivamente. Demuestra que si los segmentos $XP$ y $XQ$ tienen la misma longitud, entonces el triángulo $ABC$ es isósceles.

Sean $S$ un conjunto de $n$ elementos y $S_1,S_2,\ldots,S_k$ subconjuntos de $S$ ($k\geq 2$), tales que cada uno de ellos tiene por lo menos $r$ elementos. Demuestra que existen $i$ y $j$, con $1\leq i<j\leq k$ tales que la cantidad de elementos comunes de $S_i$ y $S)j$ es mayor o igual que $$r-\frac{nk}{4(k-1)}$$

En un tablero de $2000\times 2001$ las casillas tienen coordenadas $(x,y)$ con $0\leq x\leq 1999$, $0\leq y\leq 2000$ enteros. Una nave en el tablero se mueve de la siguiente manera: antes de cada movimiento, la nave está en una posición $(x,y)$ y tiene una velocidad $(h,v)$ donde $h$ y $v$ son enteros. La nave escoge una nueva velocidad $(h',v')$ de forma que $h'-h=-1,0,1$ y $v'-v=-1,0,1$. La nueva posición de la nave será $(x',y')$ donde $x'$ es el resto de dividir $x+h'$ entre $2002$ y $y'$ es el resto de dividir $y+v'$ entre $2001$. Hay dos naves en el tablero: la marciana y la terrestre que quiere atrapar a la marciana. Inicialmente cada nave está en una casilla del tablero y tiene velocidad $(0,0)$. Primero se mueve la nave terrestre y continúan moviéndose alternadamente. ¿Existe una estrategia que siempre le permita a la nave terrestre atrapar a la nave marciana, cualesquiera que sean las posiciones iniciales? Nota: la nave terrestre, que siempre ve a la marciana, atrapa a la marciana si después de un movimiento suyo cae en la misma posición de la marciana.

Demostrar que es imposible cubrir un cuadrado de lado $1$ con cinco cuadrados iguales de lado menos que $\frac{1}{2}$.

Determinar el número máximo de progresiones aritméticas crecientes de tres términos que puede tener una sucesión $a_1<a_2<\cdots<a_n$ de $n\geq 3$ números reales.

Se construye un polígono regular de $n$ lados ($n\geq 3$) y se enumeran sus vértices de $1$ a $n$. Se trazan todas las diagonales del polígono. Demuestra que si $n$ es impar, se puede asignar a cada lado y a cada diagonal un número entero del $1$ al $n$, tal que se cumplan simultáneamente las siguientes condiciones: 1. El número asignado a cada lado o diagonal sea distinto a los asignados a los vértices que une. 2. Para cada vértice, todos los lados y diagonales que compartan dicho vértice tengan números diferentes.

Sean $S_1$ y $S_2$ dos circunferencias, de centros $O_1$ y $O_2$ respectivamente, secantes en $M$ y $N$. La recta $t$ es la tangente común a $S_1$ y $S_2$, más cercana a $M$. Los puntos $A$ y $B$ son los respectivos puntos de contacto de $t$ con $S_1$ y $S_2$, $C$ el punto diametralmente opuesto a $B$ y $D$ el punto de intersección de la recta $O_1O_2$ con la recta perpendicular a la recta $AM$ trazada por $B$. Demuestra que $M$, $D$ y $C$ están alineados.

De una progresión aritmética infinita $1,a_1,a_2,\ldots,$ de números reales se eliminan términos, obteniéndose una progresión geométrica infinita $1,b_1,b_2,\ldots,$ de razón $q$. Encuentra los posibles valores de $q$.