Encontrar todas las soluciones de la ecuación $$(x+1)^y-x^z=1$$ para $x,y,z$ enteros mayores que $1$.

Hay un montón de $2000$ piedras. Dos jugadores se turnan para retirar piedras, alternadamente, de acuerdo a las siguientes reglas: 1. En cada jugada se pueden retirar $1$, $2$, $3$, $4$ o $5$ piedras del montón. 2. En cada jugada se prohibe que el jugador retire la misma cantidad de piedras que retiró su oponente en la jugada previa. Pierde el jugador que en su turno no pueda realizar una jugada válida. Determina cuál jugador tiene estrategia ganadora y encontrarla.

Un hexágono convexo se denomina bonito si tiene cuatro diagonales de longitud $1$, cuyos extremos incluyen todos los vértices del hexágono. 1. Dado cualquier número $k$, mayor que $0$ y menor o igual que $1$, encuentra un hexágono bonito de área $k$. 2. Demuestra que el área de cualquier hexágono bonito es menor que $\frac{3}{2}$.

Sea $n\geq 100$ un entero. Iván escribe cada uno de los números $n, n+1, \ldots, 2n$ en un naipe diferente. Después de barajar estos $n+1$ naipes, los divide en dos pilas distintas. Probar que al menos una de esas pilas contiene dos naipes tales que la suma de sus números es un cuadrado perfecto.

Dos equipos, $A$ y $B$, disputan el territorio limitado por una circunferencia. $A$ tiene $n$ banderas azules y $B$ tiene $n$ banderas blancas ($n>2$, fijo). Juegan alternadamente y $A$ comienza el juego. Cada equipo, en su turno, coloca una de sus banderas en un punto de la circunferencia que no se haya usado en una jugada anterior. Cada bandera, una vez colocada, no se puede cambiar de lugar. Una vez colocadas las $2n$ banderas se reparte el territorio entre los dos equipos. Un punto del territorio es del equipo $A$ si la bandera más próxima a él es azul, y es del equipo $B$ si la bandera más próxima a él es blanca. Si la bandera azul más próxima a un punto está a la misma distancia que la bandera blanca más próxima a ese punto, entonces el punto es neutro (no es de $A$ ni de $B$). Un equipo gana el juego si sus puntos cubren un área mayor que el área cubierta por los puntos del otro equipo. Hay empate si ambos cubren áreas iguales. Demostrar que, para todo $n$, el equipo $B$ tiene estrategia para ganar el juego.

Prueba que la siguiente desigualdad se satisface para culaesquiera numeros reales $x_1,\ldots, x_n$\n$$\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \sqrt{|x_i-x_j|}\leqslant \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \sqrt{|x_i+x_j|}$$

Sea $D$ un punto interior de un triángulo acutángulo $ABC$, con $AB>AC$, de forma que $\angle DAB=\angle CAD$. El punto $E$ en el segmento $AC$ satisface que $\angle ADE=\angle BCD$, el punto $F$ en el segmento $AB$ satisface $\angle FDA=\angle DBC$, y el punto $X$ en la recta $AC$ satisface $CX=BX$. Sean $O_1$ y $O_2$ los circuncentros de los triángulos $ADC$ y $EXD$ respectivamente. Probar que las rectas $BC$, $EF$ y $O_1O_2$ son concurrentes.

Sean $\Gamma$ una circunferencia con centro $I$ y $ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que cada uno de los segmentos $AB$, $BC$, $CD$ y $DA$ es tangente a $\Gamma$. Sea $\Omega$ la circunferencia circunscrita del triángulo $AIC$. La prolongación de $BA$ más allá de $A$ corta a $\Omega$ en $X$, y la prolongación de $BC$ más allá de $C$ corta a $\Omega$ en $Z$. Las prolongaciones de $AD$ y $CD$ más allá de $D$ cortan a $\Omega$ en $Y$ y $T$ respectivamente. Prueba que $$AD+DT+TX+XA=CD+DY+YZ+ZC$$

Sean $m\geq 2$ un entero, A un conjunto finito de enteros y $B_1,B_2,\ldots, B_m$ subconjuntos de $A$. Suponemos que para cada $k=1,2,\ldots, m$ la suma de los elementos de $b_k$ es $m^k$. Desmuestra que $A$ contiene al menos $\frac{m}{2}$ elementos.

Considere el cuadrilátero convexo $ABCD$. El punto $P$ está en el interior de $ABCD$. Asuma las siguientes igualdades de razones:\n\[\angle PAD:\angle PBA:\angle DPA=1:2:3=\angle CBP:\angle BAP:\angle BPC\]\nDemuestre que las siguientes tres rectas concurren en un punto: la bisectriz interna del ángulo $\angle ADP$,la bisectriz interna del ángulo $\angle PCB$ y la mediatriz del segmento $AB$.