Seis puntos se eligen en los lados de un triángulo equilátero $ABC$: $A_1$, $A_2$ en $BC$, $B_1$, $B_2$ en $CA$ y $C_1$, $C_2$ en $AB$, tales que son los vértices de un hexágono convexo $A_1A_2B_1B_2C_1C_2$ con lados de longitudes iguales. Muestra que las líneas $A_1B_2$, $B_1C_2$ y $C_1A_2$ concurren en un mismo punto.

Sea $a_1,a_2,\ldots,a_n$ una secuencia de enteros con infinitos términos positivos e infinitos términos negativos. Supón que para cada entero positivo $n$, los números $a_1,a_2,\ldots,a_n$ tienen $n$ residuos distindos al dividirse entre $n$. Muestra que cada entero está exactamente una vez en la secuencia $a_1,a_2,\ldots,a_n$.

Sean $x$, $y$, $z$ números reales positivos tales que $xyz\geq 1$. Muestra que\n\[ \frac { x^5-x^2 }{x^5+y^2+z^2} + \frac {y^5-y^2}{x^2+y^5+z^2} + \frac {z^5-z^2}{x^2+y^2+z^5} \geq 0 . \]

Encuentra todos los enteros positivos que son primos relativos con todos los términos de la secuencia infinita \[ a_n=2^n+3^n+6^n -1,\ n\geq 1. \]

Encuentra todos los polinomios $f$ con coeficientes reales tales que para cualesquiera reales $a$, $b$, $c$, con $ab+bc+ca=0$, se cumple que \[ f(a-b) + f(b-c) + f(c-a) = 2f(a+b+c). \]

Sea $n\geq 3$ un entero. Sean $t_1$, $t_2$, ..., $t_n$ reales positivos tales que \[n^2 + 1 \gt \left( t_1 + t_2 + \cdots + t_n \right) \left( \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} + \cdots + \frac{1}{t_n} \right).\] \nMuestra que $t_i$, $t_j$, $t_k$ pueden ser las longitudes de los lados de un triángulo para toda $i$, $j$, $k$ tales que $1 \leq i \lt j \lt k \leq n$.

En una competncia matemática con $6$ problemas, cualesquiera dos problemas fueron resueltos por más de $\frac 25$ participantes. Además, ningún participante resolvió los $6$ problemas. Muestra que hay al menos dos participantes que resolvieron exactamente $5$ problemas cada uno.

Definimos un "gancho" como una figura de 6 cuadritos unitarios como la que está en la imagen, o cualquier figura obtenida por la imagen aplicando rotaciones y reflexiones. Encuentra todos los rectángulos de $m\times n$ que pueden ser cubiertos completamente sin hoyos ni sobrelaparse con ganchos.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que $BC=DA$ y $BC$ no es paralela a $DA$. Sean $E$ y $F$ dos puntos que varían sobre los lados $BC$ y $DA$, respectivamente, tales que $BE=DF$. Las líneas $AC$ y $BD$ se encuentran en $P$, las líneas $BD$ y $EF$ se encuentran en $Q$, y las líneas $EF$ y $AC$ se encuentran en $R$. Muestra que los circuncírculos de los triángulos $PQR$ tienen un punto común distinto a $P$ sin importar la elección de $E$ y $F$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB\neq AC$. El círculo con diámetro $BC$ corta a los lados $AB$ y $AC$ en $M$ y $N$, respectivamente. Sea $O$ el punto medio del lado $BC$. Las bisectrices de los ángulos $\angle BAC$ y $\angle MON$ se intersecan en $R$. Muestra que los ciruncírculos de los triángulos $BMR$ y $CNR$ tienen un punto en común sobre el lado $BC$.