Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que la diagonal $BD$ no bisecta al ángulo $ABC$ ni al ángulo $CDA$. El punto $P$ está dentro de $ABCD$ y cumple \[\angle PBC=\angle DBA\quad\text{and}\quad \angle PDC=\angle BDA.\] Muestra que $ABCD$ es cíclico si y sólo si $AP=CP$.

Sea $A$ un subconjunto de $101$ elementos del conjunto $S=\{1,2,\ldots,1000000\}$. Muestra que existen números $t_1$, $t_2, \ldots, t_{100}$ en $S$ tales que cualesquiera dos conjuntos de la forma \[ A_j=\{x+t_j\mid x\in A\},\qquad j=1,2,\ldots,100 \] no comparten elementos.

Cada pareja de lados opuestos de un hexágono convexo tiene la siguiente propiedad: la distancia entre sus puntos medios es igual a $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ veces la suma de las longitudes de dichos lados. Muestra que todos los ángulos del hexágono son iguales.

Decimos que un entero positivo es "alternativo" si cualesquiera dos dígitos consecutivos en su representación decimal tienen paridad distinta. Encuentra todos los enteros positivos $n$ tales que $n$ tiene un múltiplo alternativo.

Encuentra todas las parejas de enteros positivos $(a,b)$ tales que \[ \dfrac{a^2}{2ab^2-b^3+1} \] es un entero positivo.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico, y $P$, $Q$, $R$, $S$ los pies de perpendicular de $D$ a las líneas $BC$, $CA$, y $AB$, respectivamente. Muestra que $PQ=QR$ si y sólo si las bisectrices de $\angle ABC$ y $\angle ADC$ se intersecan sobre $AC$.

Encuentra todas las funciones $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tales que \[ \left(f(x)+f(z)\right)\left(f(y)+f(t)\right)=f(xy-zt)+f(xt+yz) \] para toda $x$, $y$, $z$, $t\in \mathbb{R}$.

Sea $ABC$ un triángulo con $\angle BAC = 60 ^\circ$. Sea $AP$ la bisectriz de $\angle BAC$ y $BQ$ la bisectriz de $\angle ABC$, con $P$ sobre $BC$ y $Q$ sobre $AC$. Si $AB+BP=AQ+BQ$, encuentra los ángulos de $ABC$.

Sea $p$ un número primo. Muestra que existe un primo $q$ tal que para todo entero $n$, el número $n^p-p$ no es múltiplo de $q$.

Sea $\Gamma$ un círculo con centro $O$ y diámetro $BC$. Sea $A$ un punto sobre $\Gamma$ tal que $\angle AOB\lt120^\circ$. Sea $D$ el punto medio de el arco $AB$ que no contiene a $C$. La línea paralela a $AD$ que pasa por $O$ corta a $AC$ en $I$. La mediatriz de $AO$ corta a $\Gamma$ en $E$ y $F$. Muestra que $I$ es el incentro del triángulo $CEF$.