Sea $p$ un número primo. Muestra que existe un primo $q$ tal que para todo entero $n$, el número $n^p-p$ no es múltiplo de $q$.

Sea $\Gamma$ un círculo con centro $O$ y diámetro $BC$. Sea $A$ un punto sobre $\Gamma$ tal que $\angle AOB\lt120^\circ$. Sea $D$ el punto medio de el arco $AB$ que no contiene a $C$. La línea paralela a $AD$ que pasa por $O$ corta a $AC$ en $I$. La mediatriz de $AO$ corta a $\Gamma$ en $E$ y $F$. Muestra que $I$ es el incentro del triángulo $CEF$.

Encuentra todas las parejas de enteros positivos $m,n\geq3$ tales que existen infinitos enteros positivos $a$ tales que \[ \frac{a^m+a-1}{a^n+a^2-1} \] es un entero.

$21$ niñas y $21$ niños participaron en un concurso matemático. Sucedió que cada participante resolvió a lo más seis problemas, y para cada pareja de niña-niño, hubo al menos un problema resuelto por ambos. Muestra que hubo un problema que fue resuelto por al menos tres niñas y al menos tres niños.

Muestra que para cualesquiera reales positivos $a$, $b$, $c$, se cumple que\n\[ \frac{a}{\sqrt{a^2 + 8bc}} + \frac{b}{\sqrt{b^2 + 8ca}} + \frac{c}{\sqrt{c^2 + 8ab}} \geq 1. \]

Sea $n\geq 3$ un entero positivo, y sean $C_1,C_2,C_3,\ldots,C_n$ círculos unitarios en el plano, con centros $O_1,O_2,O_3,\ldots,O_n$, respectivamente. Si no existe ninguna línea que pasa por más de dos de estos círculos, muestra que \[ \sum\limits^{}_{1\leq i\lt j\leq n}{\frac{1}{O_iO_j}}\leq{(n-1)\pi\over 4}. \]

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circuncentro $O$, y $P$ el pie de altura de $A$ a $BC$. Si $\angle C \geq \angle B+30^{\circ}$, muestra que $\angle A+\angle COP \lt 90^{\circ}$.

Sea $n\geq2$ un entero positivo con divisores $1=d_1\lt d_2\lt\,\ldots\lt d_k=n$. Muestra que $d_1d_2+d_2d_3+\,\ldots\,+d_{k-1}d_k$ siempre es menor que $n^2$, y determina cuándo es un divisor de $n^2$.

Sean $a\gt b\gt c\gt d$ enteros positivos tales que \[ ac + bd = (b+d+a-c)(b+d-a+c). \] Muestra que $ab + cd$ no es primo.

¿Existe un entero positivo $n$ que tiene $2000$ divisores primos y divide a $2^n+1$?