Sean $a$, $b$, $c$ reales positivos tales que $abc=1$. Muestra que \n\[ \left( a - 1 + \frac 1b \right) \left( b - 1 + \frac 1c \right) \left( c - 1 + \frac 1a \right) \leq 1. \]

Dos círculos $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ se cortan en los puntos $M$ y $N$. Sea $AB$ la línea tangente a estos círculos en $A$ y $B$, respectivamente, tal que $M$ está entre $N$ y $AB$. Sea $CD$ la línea paralela a $AB$ que pasa por el punto $M$, con $C$ en $\Gamma_1$ y $D$ en $\Gamma_2$. Las líneas $AC$ y $BD$ se cortan en $E$, las líneas $AN$ y $CD$ se cortan en $P$, y las líneas $BN$ y $CD$ se cortan en $Q$. Muestra que $EP=EQ$.

Sean $ AH_1, BH_2, CH_3$ las alturas de un triángulo acutángulo $ABC$. Su incírculo toca a los lados $BC$, $AC$ y $AB$ en $T_1$, $T_2$ y $T_3$, respectivamente. Considera las imágenes simétricas de las líneas $ H_1H_2, H_2H_3$ y $ H_3H_1$ con respecto a las líneas $ T_1T_2, T_2T_3$ y $ T_3T_1$. Muestra que estas imágenes crean un triángulo cuyos vértices caen sobre el incírculo de $ABC$.

Una terna ordenada $(p, q, r)$ de números primos se llama parcera si $p$ divide $q^2-4$, $q$ divide $r^2-4$ y $r$ divide $p^2-4$. Encuentra todos las ternas parceras.

Un mago tiene $100$ cartas numeradas del $1$ al $100$. Las coloca dentro de tres cajas, una roja, una azul y una blanca, de manera que cada caja contiene al menos una carta. Un miembro de la audiencia elige dos cartas de dos cajas diferentes y anuncia la suma de los números escritos en ellas. Después, el mago encuentra la caja de la que no se tomó ninguna carta. ¿De cuántas maneras se pueden acomodar las cartas en las cajas para que el truco siempre funcione?

Sea $n\geq 2$ un entero positivo y $\lambda$ un real positivo. Inicialmente hay $n$ pulgas en una línea horizontal, no todas en el mismo punto. Definimos un movimiento como elegir dos pulgas en puntos $A$ y $B$ (con $A$ a la izquierda de $B$), y hacer que la pulga en $A$ salte sobre la pulga $B$ al punto $C$ tal que $ \frac {BC}{AB} = \lambda$. Encuentra todos los valores de $\lambda$ tales que para cualquier punto $M$ en la línea y cualquier posición inicial de las pulgas, existe una secuencia de movimientos que llevará a todas las pulgas a la derecha de $M$.

Hay $2021$ personas en una reunión. Se sabe que una persona de la reunión no tiene ningún amigo allí y que otra persona sólo tiene un amigo allí (la amistad es reciproca). Además, es cierto que, dadas cualesquiera $4$ personas, al menos $2$ de ellas son amigos. Demuestra que hay $2018$ personas en la reunión que son todas amigas entre sí.

Sea $n \geq 3$ un número entero y $a_1,a_2,...,a_n$ números reales positivos tales que $m$ es el menor y $M$ el mayor de estos números. Se sabe que para cualesquiera enteros distintos $1 \leq i,j,k \leq n$, si $a_i \leq a_j \leq a_k$ entonces $a_ia_k \leq a_j^2$. \nDemuestra que\n\[ a_1a_2 \cdots a_n \geq m^2M^{n-2} \]\ny determina cuando la igualdad se mantiene.

En una mesa formada por $2021\times 2021$ cuadrados unitarios, algunos cuadrados están coloreados de negro de tal manera que si colocamos un ratón en el centro de cualquier cuadrado de la mesa, éste puede caminar en línea recta (hacia arriba, hacia abajo, hacia la izquierda o hacia la derecha a lo largo de una columna o fila) y salir de la mesa sin pisar ningún cuadrado negro (aparte del inicial si es negro). ¿Cuál es el número máximo de casillas que pueden ser de color negro?

Sea $ABC$ un triángulo y sea $\Gamma$ su circuncírculo. Sea $D$ un punto en $AB$ tal que $CD$ es paralelo a la recta tangente a $\Gamma$ en $A$. Sea $E$ la intersección de $CD$ con $\Gamma$ distinta de $C$, y $F$ la intersección de $BC$ con el circuncírculo de $\bigtriangleup ADC$ distinta de $C$. Por último, sea $G$ la intersección de la recta $AB$ con la bisectriz interna del $\angle DCF$. Demuestra que $E, G, F$ y $C$ se encuentran en la misma circunferencia.