Sea $ABC$ un triángulo, $\Gamma$ su circuncírculo y $l$ la tangente a $\Gamma$ por $A$. Las alturas de $B$ y $C$ se prolongan y se encuentran con $l$ en $D$ y $E$, respectivamente. Las rectas $DC$ y $EB$ vuelven a encontrarse con $\Gamma$ en $P$ y $Q$, respectivamente. Demuestra que el triángulo $APQ$ es isósceles.

Sea $N=\overline{abcd}$ un número entero positivo de cuatro cifras. Nombramos "potencia plátano" al menor entero positivo $p(N)=\overline{\alpha_1\alpha_2\ldots\alpha_k}$ que se puede intercalar entre los números $\overline{ab}$ y $\overline{cd}$ de tal manera que el nuevo número $\overline{ab\alpha_1\alpha_2\ldots\alpha_kcd}$ sea divisible por $N$. Determina el valor de $p(2025)$.

Tenemos un polígono regular $P$ con 2019 vértices, y en cada vértice hay una moneda. Dos jugadores Azul y Rojo se turnan alternativamente, empezando por Azul, de la siguiente manera: primero, Azul elige un triángulo con vértices en $P$ y colorea su interior de azul, luego Rojo elige un triángulo con vértices en $P$ y colorea su interior de rojo, de manera que los triángulos formados en cada jugada no se cruzan internamente con los triángulos coloreados anteriores. Continúan jugando hasta que no sea posible elegir otro triángulo para colorear. Entonces, un jugador gana la moneda de un vértice si coloreó la mayor cantidad de triángulos incidentes en ese vértice (si las cantidades de triángulos coloreados con azul o rojo incidentes en el vértice son iguales, entonces nadie gana esa moneda y la moneda se borra). El jugador con la mayor cantidad de monedas gana la partida. Encuentra una estrategia ganadora para uno de los jugadores.

Sean $a, b$ y $c$ números reales positivos de tales que $a+b+c=1$. Demuestra que\n\[ a\sqrt{a^2+6bc}+b\sqrt{b^2+6ac}+c\sqrt{c^2+6ab}\leq\frac{3\sqrt{2}}{4}.\]

Sean $x, y$ números reales tales que $x-y, x^2-y^2, x^3-y^3$ son todos números primos. Demuestra que $x-y=3$.

Hay $2018$ cartas numeradas del $1$ al $2018$. Los números de las cartas están visibles en todo momento. Tito y Pepe juegan a un juego. Empezando por Tito, se van turnando para agarrar las cartas hasta que terminan. Entonces cada jugador suma los números de sus cartas y gana quien tenga una suma par. Determina qué jugador tiene una estrategia ganadora y descríbela.

Sea $n$ un número entero positivo, $1\lt n\lt 2018$. Para cada $i=1, 2, \ldots ,n$ definimos el polinomio $S_i(x)=x^2-2018x+l_i$, donde $l_1, l_2, \ldots, l_n$ son enteros positivos distintos. Si el polinomio $S_1(x)+S_2(x)+\cdots+S_n(x)$ tiene al menos una raíz entera, demostrar que al menos uno de los $l_i$ es mayor o igual que $2018$.

Un triminó es una ficha rectangular de $1\times 3$. ¿Es posible cubrir un tablero de ajedrez de $8 \times 8$ utilizando $21$ triminós, de tal manera que quede exactamente una casilla de $1 \times 1$ sin cubrir? En caso de que la respuesta sea afirmativa, determine todas las posibles ubicaciones de dicha casilla unitaria en el tablero de ajedrez.

Determina todas las tripletas $(p, q, r)$ de enteros positivos, donde $p, q$ son números primos, tales que $$\frac{r^2-5q^2}{p^2-1}=2.$$

En La Habana se realiza un baile con $2018$ parejas. Para el baile, se dispone de una circunferencia donde inicialmente se marcan $2018$ puntos distintos, etiquetados con los números $0,1,\ldots,2017$. Las parejas son ubicadas sobre los puntos marcados, una en cada punto. Para $i\ge1$, se define $s_i$ como el residuo de dividir $i$ entre $2018$ y $r_i$ como el residuo de dividir $2i$ entre $2018$. El baile comienza en el minuto $0$. En el $i-$ésimo minuto después de haber inciado el baile, la pareja ubicada en el punto $s_i$ (si la hay) se mueve al punto $r_i$, la pareja que ocupaba el punto $r_i$ (si la hay) se retira, y el baile continúa con las parejas restantes. El baile termina después de $2018^2$ minutos. Determina cuantas parejas quedarán al terminar el baile.