Susana y Brenda juegan a escribir polinomios en la pizarra. Susana empieza y juegan por turnos. En el turno preparatorio (turno $0$), Susana elige un entero positivo $n_0$ y escribe el polinomio $P_0(x)=n_0$. En el turno $1$, Brenda elige un entero positivo $n_1$, distinto de $n_0$, y escribe el polinomio \[ P_1(x)=n_1x+P_0(x) \text{ o } P_1(x)=n_1x-P_0(x). \] En general, en el turno $k$, el jugador respectivo elige un número entero $n_k$, diferente de $n_0, n_1, \ldots, n_{k-1}$, y escribe el polinomio \[P_k(x)=n_kx^k+P_{k-1}(x) \text{ o } P_k(x)=n_kx^k-P_{k-1}(x).\] El primer jugador que escriba un polinomio con al menos una raíz entera gana. Encuentra y describe una estrategia ganadora.

La figura siguiente muestra una red hexagonal formada por muchos triángulos equiláteros congruentes. Por turnos, Gabriel y Arnaldo juegan de la siguiente manera. En su turno, el jugador colorea un segmento, incluyendo los puntos extremos, siguiendo estas tres reglas: - Los puntos finales deben coincidir con los vértices de los triángulos equiláteros marcados. -El segmento debe estar formado por uno o varios de los lados de los triángulos. -El segmento no puede contener ningún punto (puntos finales incluidos) de un segmento previamente coloreado. Gabriel juega primero, y el jugador que no puede hacer un movimiento legal pierde. Encuentra una estrategia ganadora y descríbela.

$ABC$ es un triángulo rectángulo, con $\angle ABC = 90^{\circ}$. $B'$ es la reflexión de $B$ sobre $AC$. $M$ es el punto medio de $AC$. Elegimos $D$ sobre $\overline{BM}$, tal que $BD = AC$. Demostrar que $B'C$ es la bisectriz de $\angle MB'D$. NOTA: Una condición importante que no se menciona en el problema original es $AB\lt BC$. En caso contrario, $\angle MB'D$ no está definido o en otras palabras, $B'C$ es la bisectriz externa.

Sea $ABC$ un triángulo y $D$ el pie de la altura desde $A$. Sea $l$ la recta que pasa por los puntos medios de $BC$ y $AC$. $E$ es la reflexión de $D$ sobre $l$. Demuestra que el circuncentro de $ ABC$ está en la recta $AE$.

Llamamos a un par $(a,b)$ de enteros positivos, $a<391$, pupusa si \[\text{mcm}(a,b)>\text{mcm}(a,391) \] Encuentra el valor mínimo posible de $b$, entre todas las parejas pupusa.

La rana Tita se sienta en la recta numérica. Inicialmente está en el número entero $k>1$. Si está sentada en el número $n$, salta al número $f(n)+g(n)$, donde $f(n)$ y $g(n)$ son, respectivamente, los números primos positivos más grandes y más pequeños que dividen a $n$. Encuentra todos los valores de $k$ de manera que Tita pueda saltar a infinitos números enteros distintos.

Encontrar todos los enteros positivos $n$ que tienen $4$ dígitos, todos ellos cuadrados perfectos, y tales que $n$ es divisible por $2$, $3$, $5$ y $7$.

El número $3$ está escrito en un tablero. Ana y Bernardo juegan por turnos, empezando por Ana, al siguiente juego. Si el número escrito en el tablero es $n$, el jugador en su turno debe sustituirlo por un número entero $m$ coprimo de $n$ y tal que $n\lt m\lt n^2$. El primer jugador que alcance un número mayor o igual que $2016$ pierde. Determina cuál de los jugadores tiene una estrategia ganadora y describirla.

El polinomio $Q(x)=x^3-21x+35$ tiene tres raíces reales diferentes. Encuentra números reales $a$ y $b$ tales que el polinomio $P(x)=x^2+ax+b$ permute cíclicamente las raíces de $Q$, es decir, si $r$, $s$ y $t$ son las raíces de $Q$ (en algún orden) entonces $P(r)=s$, $P(s)=t$ y $P(t)=r$.

Decimos que un número es irie si se puede escribir de la forma $1+\frac{1}{k}$ para algún entero positivo $k$. Demostrar que todo número entero $n \geq 2$ puede escribirse como el producto de $r$ números irie distintos para todo número entero $r \geq n-1$.