Sean $\Gamma$ y $\Gamma'$ dos circunferencias congruentes centradas en $O$ y $O'$, respectivamente, y sea $A$ uno de sus dos puntos de intersección. $B$ es un punto de $\Gamma$, $C$ es el segundo punto de intersección de $AB$ y $\Gamma'$, y $D$ es un punto de $\Gamma'$ tal que $OBDO'$ es un paralelogramo. Demuestra que la longitud de $CD$ no depende de la posición de $B$.

El país "Olimpia" está formado por $n$ islas. La más poblada se llama "Panacenter", y cada isla tiene un número diferente de habitantes. Queremos construir puentes entre estas islas, con los que podremos viajar en ambas direcciones, bajo las siguientes condiciones: Ningún par de islas está unido por más de un puente. Utilizando los puentes podemos llegar a todas las islas desde el Panacentro. Si queremos viajar desde Panacenter a cada una de las otras islas, de forma que utilicemos cada puente como máximo una vez, el número de habitantes de las islas que visitamos es estrictamente decreciente. Determina el número de formas en que podemos construir los puentes.

Demuestra que la ecuación $$a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+3b^{2}-c^{2}-a^{2}=2005$$ no tiene soluciones enteras.

Sea $n$ un número entero positivo y $p$ un primo fijo. Tenemos una baraja de $n$ cartas, numeradas con $1,\ 2,\ldots,\ n$ y $p$ cajas para poner las cartas en ellas. Determina todos los posibles enteros $n$ para los que es posible distribuir las cartas en las cajas de forma que la suma de los números de las cartas en cada caja sea la misma.

$S$ es una circunferencia con $AB$ de diámetro y $t$ es la recta tangente a $S$ en $B$. Consideremos los dos puntos $C$ y $D$ en $t$ de tal manera que $B$ está entre $C$ y $D$. Supongamos que $E$ y $F$ son las intersecciones de $S$ con $AC$ y $AD$ y que $G$ y $H$ son las intersecciones de $S$ con $CF$ y $DE$. Demuestra que $AH=AG$.

Determinar si existen números enteros positivos $a$ y $b$ tales que todos los términos de la sucesión definida por $x_1=2010$, $x_2=2011$, $$x_{n+2}=x_n+x_{n+1}+a\sqrt{x_nx_{n+1}+b}, n\geq 1$$ sean enteros.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo. $I=AC\cap BD$, y $E$, $H$, $F$ y $G$ son puntos en $AB$, $BC$, $CD$ y $DA$ respectivamente, tales que $EF \cap GH= I$. Si $M=EG \cap AC$, $N=HF \cap AC$. Demuestra que \[\frac{AM}{IM}\cdot \frac{IN}{CN}=\frac{IA}{IC}.\]

El producto de varios enteros positivos distintos es divisible por $2006^{2}$. Determina el valor mínimo que puede tomar la suma de dichos números.

Sea $ABCD$ un trapecio tal que $AB\parallel CD$ y $AB+CD=AD$. Sea $P$ el punto sobre $AD$ tal que $AP=AB$ y $PD=CD$. Muestra que $\angle BPC=90^{\circ}$. $Q$ es el punto medio de $BC$ y $R$ es el punto de intersección entre la recta $AD$ y la circunferencia que pasa por los puntos $B,A$ y $Q$. Muestra que los puntos $B,P,R$ y $C$ son concíclicos.

En una pizarra, se escriben los números de $1$ a $9$. Los jugadores $A$ y $B$ se turnan, y $A$ es el primero. Cada jugador, por turno, elige uno de los números de la pizarra y lo retira, junto con todos los múltiplos (si los hay). El jugador que elimina el último número pierde. Determina si alguno de los jugadores tiene una estrategia ganadora.