Entre los enteros positivos que se pueden expresar como la suma de $2005$ enteros consecutivos, ¿cuál ocupa la posición $2005$ cuando se ordenan?

Dos jugadores $A$ y $B$ se turnan en el siguiente juego: Hay un montón de piedras de $2003$. En su primer turno, $A$ elige un divisor de $2003$ y retira este número de piedras del montón. A continuación, $B$ elige un divisor del número de piedras restantes, y retira ese número de piedras del nuevo montón, y así sucesivamente. El jugador que tenga que retirar la última piedra pierde. Demuestra que uno de los dos jugadores tiene una estrategia ganadora y describa la estrategia.

En un tablero de $10\times 10$, la mitad de las casillas son de color blanco y la otra mitad de color negro. Un lado común a dos casillas del tablero es llamado "borde" si las dos casillas tienen colores diferentes. Determina el número mínimo y máximo posible de bordes que puede haber en el tablero.

Sea $ P$ el producto de todos los dígitos no nulos del entero positivo $ n$. Por ejemplo, $ P(4) = 4$, $ P(50) = 5$, $ P(123) = 6$, $ P(2009) = 18$. Encuentra el valor de la suma: $P(1) + P(2) + ... + P(2008) + P(2009)$.

Si $x$, $y$, $z$ son reales positivos que satisfacen \[x+\frac{y}{z}=y+\frac{z}{x}=z+\frac{x}{y}=2. \] Encuentra todos los valores posibles de $x+y+z$.

Con perlas de diferentes colores formando collares, se dice que un collar es "primo" si no se puede descomponer en hilos de perlas de la misma longitud, e iguales entre sí. Sean $n$ y $q$ enteros positivos. Demuestra que el número de collares primos con $n$ perlas, cada una de las cuales tiene uno de los $q^n$ colores posibles, es igual a $n$ veces el número de collares primos con $n^2$ perlas, cada una de las cuales tiene uno de los $q$ colores posibles. Nota: dos collares se consideran iguales si tienen el mismo número de perlas y se puede conseguir el mismo color en ambos collares, girando uno de ellos para que coincida con el otro.

Sea $ABC$ un triángulo agudo y $D$, $E$, $F$ los pies de las alturas que pasan por $A$, $B$, $C$ respectivamente. Llamemos $Y$ y $Z$ a los pies de las rectas perpendiculares desde $B$ y $C$ a $FD$ y $DE$, respectivamente. Sea $F_1$ la reflexión de $F$ respecto a $E$ y $E_1$ la reflexión de $E$ respecto a $F$. Si $3EF=FD+DE$, demuestra que $\angle BZF_1=\angle CYE_1$.

Sean $\Gamma$ y $\Gamma_1$ dos circunferencias internamente tangentes en $A$, con centros $O$ y $O_1$ y radios $r$ y $r_1$, respectivamente ($r>r_1$). $B$ es un punto diametralmente opuesto a $A$ en $\Gamma$, y $C$ es un punto en $\Gamma$ tal que $BC$ es tangente a $\Gamma_1$ en $P$. Sea $A'$ el punto medio de $BC$. Dado que $O_1A'$ es paralelo a $AP$, halla la razón $r/r_1$.

Encuentra el menor número entero positivo $ N$ tal que la suma de sus dígitos sea $100$ y la suma de los dígitos de $ 2N$ sea $110$.

Si $p$, $q$ y $r$ son números racionales no nulos tales que $\sqrt[3]{pq^2}+\sqrt[3]{qr^2}+\sqrt[3]{rp^2}$ es un número racional no nulo, demuestra que $$\frac{1}{\sqrt[3]{pq^2}}+\frac{1}{\sqrt[3]{qr^2}}+\frac{1}{\sqrt[3]{rp^2}}$$ también es un número racional.