Una ficha se coloca en una casilla de un tablero de $m\times n$, y se mueve según las siguientes reglas: En cada turno, la ficha puede moverse a una casilla que comparta un lado con la que está ocupada actualmente. La ficha no puede colocarse en una casilla que ya fue ocupada. Dos movimientos consecutivos no pueden tener la misma dirección. El juego termina cuando la ficha no puede ser movida. Determina los valores de $m$ y $n$ para los que, colocando la ficha en alguna casilla, se puede lograr que todas las casillas del tablero hayan sido ocupadas al final de la partida.

Hay $2008$ bolsas numeradas del $1$ al $2008$, con $2008$ ranas en cada una de ellas. Dos personas juegan por turnos. Una jugada consiste en seleccionar una bolsa y sacar de ella un número cualquiera de ranas (al menos una), dejando en ella $ x$ ranas ($ x\geq 0$). Después de cada jugada, de cada bolsa con un número superior al seleccionado y que tenga más de $ x$ ranas, se escapan algunas ranas hasta que haya $ x$ ranas en la bolsa. Pierde el jugador que saque la última rana de la bolsa número $1$. Encuentra y explica una estrategia ganadora.

Cinco chicas tienen una pequeña tienda que abre de lunes a viernes. Como dos personas son siempre suficientes para atenderla, deciden hacer un plan de trabajo para la semana, especificando quién trabajará cada día, y cumpliendo las siguientes condiciones: Cada chica trabajará exactamente dos días a la semana, y las 5 parejas asignadas para la semana deben ser diferentes. ¿De cuántas maneras pueden las chicas hacer el plan de trabajo?

Hay $2009$ casillas numeradas del $1$ al $2009$, algunas de las cuales contienen piedras. Dos jugadores, $ A$ y $ B$, juegan alternativamente, empezando por $ A$. Una jugada consiste en seleccionar una casilla no vacía $ i$, tomar una o varias piedras de esa casilla y colocarlas en la casilla $ i + 1$. Si $ i = 2009$, las piedras seleccionadas se eliminan. El jugador que elimina la última piedra gana. Si hay $2009$ piedras en la caja $2$ y las otras están vacías, determina qué jugador tiene una estrategia ganadora. Si hay exactamente una piedra en cada casilla, determina qué jugador tiene una estrategia ganadora.

¿Para qué números enteros $ n\ge 3$ es posible acomodar, en algún orden, los números $ 1,2,\cdots, n$ en una forma circular tal que cada número divide la suma de los dos números siguientes, en sentido horario?

Para cada número entero $ a>1$ se construye una lista infinita de enteros $ L(a)$, como sigue: $ a$ es el primer número de la lista $ L(a)$. Dado un número $ b$ en $ L(a)$, el siguiente número de la lista es $ b+c$, donde $ c$ es el mayor entero que divide a $ b$ y es menor que $ b$. Encuentra todos los enteros $ a>1$ tales que $ 2002$ está en la lista $ L(a)$.

Sea $ ABC$ un triángulo agudo, y sean $ D$ y $ E$ los pies de las altitudes trazadas desde los vértices $ A$ y $ B$, respectivamente. Demuestra que si, \[ (BDE) \le (DEA) \le (EAB) \le (ABD) \] entonces, el triángulo es isósceles.

Una trayectoria desde $ (0,0)$ hasta $ (n,n)$ en la red está formada por movimientos unitarios hacia arriba o hacia la derecha. Está equilibrada si la suma de las coordenadas x de sus vértices $ 2n+{}1$ es igual a la suma de sus coordenadas y. Demuestra que un camino equilibrado divide el cuadrado con vértices $ (0,0)$, $ (n,0)$, $ (n,n)$, $ (0,n)$ en dos partes con igual área.

Sea $ AB$ el diámetro de una circunferencia con centro $ O$ y radio $ 1$. Sean $ C$ y $ D$ dos puntos de la circunferencia tales que $ AC$ y $ BD$ se intersecan en un punto $ Q$ situado en el interior de la circunferencia, y $ \angle AQB = 2 \angle COD$. Sea $ P$ un punto que corta las tangentes a la circunferencia que pasan por los puntos $ C$ y $ D$. Determina la longitud del segmento $ OP$.

Determina el menor número entero positivo $ n$ tal que existan enteros positivos $ a_1,a_2,\cdots,a_n,$ que sean menores o iguales a $ 15$ y que no sean necesariamente distintos, tal que los cuatro últimos dígitos de la suma \[ a_1! + a_2! + \cdots + a_n!\] es $ 2001$.