Una palabra es una secuencia finita de letras de algún alfabeto. Una palabra es repetitiva si es una concatenación de al menos dos subpalabras idénticas (por ejemplo, $ababab$ y $abcabc$ son repetitivas, pero $ababa$ y $aabb$ no lo son). Demuestra que si una palabra tiene la propiedad de que el intercambio de cualesquiera dos letras adyacentes hace que la palabra sea repetitiva, entonces todas sus letras son idénticas.

Sea $ABCD$ un trapecio con $AB$ paralelo a $DC$. Se toman puntos $P$ y $Q$ en los lados $AB$ y $CD$, respectivamente, tales que $\frac{AP}{PB}=\frac{DQ}{QC}$. Sea $M$ la intersección de $AQ$ con $DP$ y sea $N$ la intersección de $PC$ con $QB$. \nMuestra que la longitud de $MN$ depende únicamente de las longitudes de $AB$ y $CD$, y calcula su valor.

Dado un número entero $k$ de dos o más cifras, se forma otro número entero $m$ insertando un cero entre la cifra de las unidades y la de las decenas de $k$. Encuentra todos los números $k$ para los cuales $m$ resulta ser un múltiplo de $k$.

En una cuadrícula de $32\times 32$ se escriben los números del $1$ al $1024$ de izquierda a derecha, con los números del $1$ al $32$ en el primer renglón, los del $33$ al $64$ en el segundo, etc. La cuadrícula se divide en cuatro cuadrículas de $16\times 16$: Estas cuadrículas se cambian de lugar entre sí, y queda el siguiente arreglo: \[\begin{vmatrix}A&B\\D&C\end{vmatrix}\to\begin{vmatrix}D&A\\B&C\end{vmatrix}\] Después, cada cuadrícula de $16\times 16$ se divide en cuatro cuadrículas de $8\times 8$ que se cambian de lugar del mismo modo; a su vez cada una de esas se divide y así sucesivamente hasta llegar a cuadrículas de $2\times 2$ que se dividen en cuadros de $1\times 1$, los cuales se cambian de lugar del mismo modo. Al terminar estas operaciones, ¿qué números quedan en la diagonal que va de la esquina superior izquierda a la inferior derecha en la cuadrícula de $32\times 32$?

Dado un número entero $n$, un cambio sensato consiste en sustituir $n$ por $2n+1$ o $3n+2$. Dos enteros positivos $a$ y $b$ se llaman compatibles si existe un entero que se puede obtener haciendo uno o más cambios sensatos, tanto a partir de $a$, como a partir de $b$. Encuentra todos los enteros positivos compatibles con $2003$ menores que $2003$.

Sean $A$, $B$ y $C$ tres puntos colineales con $B$ entre $A$ y $C$. Sea $\mathcal{Y}$ una circunferencia tangente a $AC$ en $B$, sean $\mathcal{X}$ y $\mathcal{Z}$ las circunferencias de diámetros $AB$ y $BC$, respectivamente. Sea $P$ el punto (además de $B$) en el que se cortan las circunferencias $\mathcal{X}$ y $\mathcal{Y}$; sea $Q$ el otro punto (además de $B$) en el que se cortan las circunferencias $\mathcal{Y}$ y $\mathcal{Z}$. Supón que la recta $PQ$ corta a $\mathcal{X}$ en un punto $R$ distinto de $P$ y que esta misma recta $PQ$ corta a $\mathcal{Z}$ en un punto $S$ distinto de $Q$. Muestra que concurren $AR,$ $CS$ y la tangente común a $\mathcal{X}$ y $\mathcal{Z}$ por $B$.

Sea $ABCD$ un trapecio con $AB$ paralelo a $DC$. Se toman puntos $P$ y $Q$ en los lados $AB$ y $CD$, respectivamente, tales que $\frac{AP}{PB}=\frac{DQ}{QC}$. Sea $M$ la intersección de $AQ$ con $DP$ y sea $N$ la intersección de $PC$ con $QB$. \nMuestra que la longitud de $MN$ depende únicamente de las longitudes de $AB$ y $CD$, y calcula su valor.

En una fiesta hay el mismo número $n$ de muchachos que de muchachas. Supón que a cada muchacha le gustan $a$ muchachos y a cada muchacho le gustan $b$ muchachas. Para qué valores de $a$ y $b$ es correcto afirmar que hay un muchacho y una muchacha que se gustan mutuamente?

Alrededor de una mesa circular sobre la que hay $28$ floreros se sientan $12$ personas. Dos personas pueden verse si y sólo si no hay ningún florero alineado con ellas. Probar que existen al menos dos personas que pueden verse.

Tres números enteros distintos forman una terna compatible si alguno de ellos, digamos $n$, cumple que cada uno de los otros dos es, o bien divisor, o bien múltiplo de $n$. Para cada terna compatible de números entre $1$ y $2002$ se calcula la suma de los tres números de la terna. ¿Cuál es la mayor suma obtenida? ¿Cuáles son las ternas en las que se obtiene suma máxima?