5 En la pizarra hay $10$ números reales positivos distintos. Emi calculó todas las $45$ sumas posibles de dos de estos números y encontró que cinco de estas sumas eran iguales entre sí. Facu calculó todos los $45$ productos posibles de dos de estos números. Determine el número máximo de resultados iguales que Facu pudo haber obtenido.

En el conjunto de todos los números reales positivos define la operación $a * b = a^b$. Encuentra todos los números racionales positivos para los cuales $a * b = b * a$.

1 Sean $v_1,v_2,…,v_n$ $n$ vectores unitarios en $\mathbb{R}^m$ . Demuestre que existen $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n \in \left \{ -1, 1 \right \} $ tales que: $\left | \sum_{i=1}^{n} \varepsilon_i v_i \right | \ge \sqrt{n} $ Nota: Para todo $x=(x_1,x_2, \cdots, x_m) \in \mathbb{R}^m $ , defina $\left | x \right | =\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_m^2} $ Propuesto por Qu Zhenhua

4 Demuestre que la ecuación $3a^{4}+4b^{4}=19c^{4}$ no tiene soluciones racionales no triviales. Sugerencia: no intente demostrarlo usando aritmética modular, al menos no de la manera clásica...

3 Dado un entero positivo $n \geq 4$ , considere todos los números reales positivos no enteros $x_1, x_2, \dots, x_n$ tales que su suma es $n$ . Halle las constantes óptimas $C_1(n)$ y $C_2(n)$ tales que la siguiente desigualdad se cumple siempre: $$C_1(n) \leq \sum_{i=1}^{n} \frac{x_i \cdot \{x_i\}}{x_i + 1} \leq C_2(n),$$ donde $\{x_i\}$ denota la parte fraccionaria de $x_i$ . Propuesto por Yang Xia

1 P(x) es un polinomio, degP(x)=n. P(x) es bueno si P(P(x)) tiene n^2 raíces no positivas distintas. P(x) es grande si para todo entero positivo m, P(P(...)) (m veces P) tiene n^m raíces distintas. Halle todos los enteros positivos n tales que, para todo P(x) que satisfaga degP(x)=n, si P(x) es bueno, entonces P(x) debe ser grande.

2 Sea $ABDC$ un cuadrilátero circunscrito a la circunferencia $\Gamma$ . Sean $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ dos circunferencias que pasan por los puntos $B$ y $C$ , ambas tangentes interiormente a $\Gamma$ en los puntos $E$ y $F$ , respectivamente. Demuestre que: las rectas $AF$ , $DE$ y $BC$ son concurrentes. Propuesto por Yiyan Lin

1 Sea $\triangle A{}BC$ un triángulo escaleno, y sean $O$ y $H$ su circuncentro y su ortocentro, respectivamente. La recta $OH$ (la recta de Euler) interseca $AC$ y $AB$ en los puntos $E$ y $F$ . Sea $\odot O$ la circunferencia circunscrita de $\triangle A{}BC$ , y sea $J$ su intersección con la circunferencia circunscrita $\odot S$ de $\triangle AEF$ (donde $J \neq A$ ) . La circunferencia circunscrita de $\triangle JSO$ interseca $\odot O$ en los puntos $J$ y $K$ , e interseca la recta $OH$ en los puntos $O$ y $D$ . La recta $DK$ interseca $\odot O$ en los puntos $G$ y $K$ . Sea $M$ la intersección de la recta $JK$ con $OH$ . Demuestre que: la circunferencia que pasa por los puntos $G, H,$ y $M$ es tangente a $\odot O$ . Propuesto por Minyan Hao

3 S3 suponga $x=ky$ $$\left(ky+y+\frac{1}{y} \right) \left(k+\frac{1}{k}+2\right) \geq\frac{25\sqrt{15}}{9}$$ Por AM-CM sabemos que cuando $y=\frac{1}{\sqrt{k+1}},ky+y+\frac{1}{y} $ es máximo. Solo necesitamos demostrar que $$\left(\frac{k}{\sqrt{k+1} }+\frac{1}{\sqrt{k+1} }+\sqrt{k+1} \right) \left(k+\frac{1}{k}+2\right) \geq\frac{25\sqrt{15}}{9}$$ Luego solo necesitamos tomar la derivada; con $k=\frac{2}{3}$ , se alcanza el mínimo cuando $x=\frac{2}{\sqrt{15}},y=\frac{3}{\sqrt{15}}$ , $LHS=RHS$ P4 $a_1,a_2,\dots,a_{2022}\ge 0,a_1+a_2+\dots +a_{2022}=1$ halle el máximo valor de $\sum_{i=1}^{2022}\text{min}\{a_i,a_{i+1}\}\cdot \text{min}\{a_{i+1},a_{i+2}\}$ $a_{2023}=a_1,a_{2024}=a_2$ David-Vieta

3 Dados enteros positivos $m,n,r$ con $1<m<n$ , seleccione varias casillas de una cuadrícula de $m \times n$ de modo que el número de casillas seleccionadas en cada fila y columna no supere $r$ . Halle el mínimo valor de $a$ tal que siempre sea posible colorear las casillas seleccionadas usando $a$ colores, garantizando que ninguna fila o columna contenga tres casillas del mismo color. Propuesto por Lu Yiping