5 Se da un triángulo $ABC$ con $\beta= 45^o$ . Existe un punto $P$ sobre el lado $BC$ , donde $BP : PC =1 : 2$ (división interior) y $\angle APC = 60^o$ . Alguien afirma que se puede determinar, empleando únicamente teoremas geométricos elementales y sin usar la trigonometría plana, la magnitud del ángulo $\gamma$ .

6 ¿Cuáles de las cuatro afirmaciones siguientes son verdaderas y cuáles falsas? a) Si un polígono inscrito en una circunferencia es equilátero, entonces también es equiángulo. b) Si un polígono inscrito en una circunferencia es equiángulo, entonces también es equilátero. c) Si un polígono circunscrito a una circunferencia es equilátero, entonces también es equiángulo. d) Si un polígono circunscrito a una circunferencia es equiángulo, entonces también es equilátero.

1 a) Demuestre que al dividir cualquier número primo por $30$ el resto es $1$ o es un número primo! b) ¿Se cumple esto también al dividir un número primo por $60$? ¡Justifique su respuesta!

2 ¿Para cuáles números $x$ del intervalo $0 < x <\pi$ se cumple: $$\frac{\tan 2x}{\tan x} -\frac{2 \cot 2x}{\cot x}=1$$

3 Debe demostrarse: Si al menos dos de los números reales $a, b, c$ son distintos de cero, entonces se cumple la desigualdad $$\frac{a^2}{b^2 + c^2} + \frac{b^2}{c^2 + a^2} + \frac{c^2}{a^2 + b^2} \ge \frac32$$ ¿Bajo qué condiciones se presenta la igualdad?

5 Se da un cuadrado de lado $a$ . Un segmento $PQ$ de longitud $p$ , donde $p < a$ , se mueve de modo que sus extremos están siempre sobre los lados del cuadrado. ¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos medios de los segmentos $PQ$?

4 Considere un rectángulo de lados $2a$ y $2b$ , donde $a > b$ . Deben recortarse cuatro triángulos rectángulos congruentes (un triángulo en cada vértice de este rectángulo, cuyos catetos se encuentran sobre los lados del rectángulo) de modo que la figura restante forme un octágono con lados de igual longitud. El lado del octágono debe expresarse en términos de a y $b$ y debe construirse a partir de $a$ y $b$ . Además, debe indicarse bajo qué condiciones puede resolverse el problema.

2 Sean $u, v$ y $ w$ números positivos cualesquiera menores que $1$ . Demuestre que entre los números $u(1 -v)$ , $v(1 -w)$ , $w(1 - u)$ hay siempre al menos un valor no mayor que $\frac14$ .

6 Considere una pirámide $ABCD$ cuya base $ABC$ es un triángulo. Por un punto $M$ de la arista $DA$ se trazan las rectas $MN$ y $MP$ en los planos de las caras $DAB$ y $DAC$ , respectivamente, de modo que $N$ está sobre $DB$ y $P$ está sobre $DC$ , y $ABNM$ , $ACPM$ son cuadriláteros cíclicos. a) Demuestre que $BCPN$ es también un cuadrilátero cíclico. b) Demuestre que los puntos $A,B,C,M,N, P$ se encuentran sobre una esfera.

1 En 27.000 ensayos de fertilización con abonos fosforados se obtuvieron los siguientes rendimientos medios de cosecha de patatas: $$Fertilizer \,\, application \,\,based \,\,on \,\,P2O5 (dt/ha) \ '\ crop \,\, yield \,\, (dt/ha)$$ $$0.0 \ \ 237$$ $$0.3 \ \ 251$$ $$0.9 \ \ 269$$ La relación entre la dosis de fertilizante $x$ (en dt/ha) y el rendimiento de cosecha $y$ (en dt/ha) puede aproximarse mediante la siguiente relación: $$y = a - b \cdot 10^{-kx}$$ donde $a, b$ y $k$ son constantes. a) ¡Calcule estas constantes usando los valores dados arriba! b) ¡Calcule el rendimiento de cosecha para una dosis de fertilizante de $0.6$ dt/ha y de $1.2$ dt/ha! c) Establezca la desviación porcentual de los valores calculados respecto de los valores determinados experimentalmente, $261$ dt/ha y $275$ dt/ha.