2 Resuelva la ecuación $27\cdot3^{3\sin x}=9^{\cos^2x}$ donde $x\in [0,2\pi )$ .

La sucesión $(L_n)$ está dada por $L_0=2$ , $L_1=1$ , y $L_{n+1}=L_n+L_{n-1}$ para $n\ge1$ . Demuestre que si un número primo $p$ divide a $L_{2k}-2$ para $k\in\mathbb N$ , entonces $p$ también divide a $L_{2k+1}-1$ .

Determine el lugar geométrico de los puntos $M$ del plano de un rombo dado $ABCD$ tales que $MA\cdot MC+MB\cdot MD=AB^2$ .

Sea $(x+1)^p(x-3)^q=x^n+a_1x^{n-1}+\ldots+a_{n-1}x+a_n$ , donde $p,q$ son enteros positivos. (a) Demuestre que si $a_1=a_2$ , entonces $3n$ es un cuadrado perfecto. (b) Demuestre que existen infinitos pares $(p,q)$ para los cuales $a_1=a_2$ .

Halle el menor entero positivo $n$ que satisface la siguiente condición: Para todo conjunto finito de puntos del plano, si para cualesquiera $n$ puntos de este conjunto existen dos rectas que contienen a los $n$ puntos, entonces existen dos rectas que contienen a todos los puntos del conjunto.

Sea $I$ el incentro de un triángulo $ABC$ con $\angle BAC=60^\circ$ . Una recta que pasa por $I$ paralela a $AC$ interseca a $AB$ en $F$ . Sea $P$ el punto sobre el lado $BC$ tal que $3BP=BC$ . Demuestre que $\angle BFP=\frac12\angle ABC$ .

3 Sea $ ABC$ un triángulo fijo, y sean $ A_1$ , $ B_1$ , $ C_1$ los puntos medios de los lados $ BC$ , $ CA$ , $ AB$ , respectivamente. Sea $ P$ un punto variable sobre la circunferencia circunscrita. Sean las rectas $ PA_1$ , $ PB_1$ , $ PC_1$ que cortan de nuevo a la circunferencia circunscrita en $ A'$ , $ B'$ , $ C'$ , respectivamente. Suponga que los puntos $ A$ , $ B$ , $ C$ , $ A'$ , $ B'$ , $ C'$ son distintos, y que las rectas $ AA'$ , $ BB'$ , $ CC'$ forman un triángulo. Demuestre que el área de este triángulo no depende de $ P$ . Autor: Christopher Bradley, Reino Unido

2 Considere las funciones $ f: \mathbb{N} \mapsto \mathbb{N}$ que satisfacen la condición \[ f(m + n) \geq f(m) + f(f(n)) - 1 \] para todos $ m,n \in \mathbb{N}.$ Halle todos los valores posibles de $ f(2007).$

1 Sean $b,n > 1$ enteros. Suponga que para cada $k > 1$ existe un entero $a_k$ tal que $b - a^n_k$ es divisible por $k$ . Demuestre que $b = A^n$ para algún entero $A$ . Autor: Dan Brown, Canadá

4 Las diagonales de un trapecio $ ABCD$ se intersecan en el punto $ P$ . El punto $ Q$ está entre las rectas paralelas $ BC$ y $ AD$ tal que $ \angle AQD = \angle CQB$ , y la recta $ CD$ separa los puntos $ P$ y $ Q$ . Demuestre que $ \angle BQP = \angle DAQ$ . Autor: Vyacheslav Yasinskiy, Ucrania