34 Si $p$ es un número primo mayor que $2$ y $a, b, c$ son enteros no divisibles por $p$ , demuestre que la ecuación \[ax^2 + by^2 = pz + c\] tiene una solución entera.

35 $(a)$ Demuestre que para $a, b, c, d \in\mathbb{R}, m \in [1,+\infty)$ con $am + b =-cm + d = m$ , \[(i)\sqrt{a^2 + b^2}+\sqrt{c^2 + d^2}+\sqrt{(a-c)^2 + (b-d)^2}\ge \frac{4m^2}{1+m^2},\text{ and}\] \[(ii) 2 \le \frac{4m^2}{1+m^2} < 4.\] $(b)$ Exprese $a, b, c, d$ como funciones de $m$ de modo que haya igualdad en $(i).$

36 Se dan un número finito de segmentos paralelos en el plano con la propiedad de que para cualesquiera tres de los segmentos existe una recta que interseca a cada uno de ellos. Demuestre que existe una recta que interseca a todos los segmentos dados.

37 En un tablero de ajedrez ( $8\times 8$ cuadrados con lados de longitud $1$ ) se quitan dos cuadrados de esquinas diagonalmente opuestas. ¿Puede ahora cubrirse el tablero con rectángulos no superpuestos con lados de longitudes $1$ y $2$ ?

38 Se dan rectángulos congruentes con lados $m(cm)$ y $n(cm)$ ( $m, n$ enteros positivos). Caracterice los rectángulos que pueden construirse a partir de estos rectángulos (a la manera de un rompecabezas). (El número de rectángulos es ilimitado.)

39 ¿Cuántas tangentes a la curva $y = x^3-3x\:\: (y = x^3 + px)$ pueden trazarse desde diferentes puntos del plano?

41 Se da la expansión ternaria $x = 0.10101010\cdots$ . Dé la expansión binaria de $x$ . Alternativamente, transforme la expansión binaria $y = 0.110110110 \cdots$ en una expansión ternaria.

43 Se da un punto fijo $A$ en el interior de una circunferencia. Considere todas las cuerdas $XY$ de la circunferencia tales que $\angle XAY$ es un ángulo recto, y para todas esas cuerdas construya el punto $M$ simétrico de $A$ con respecto a $XY$ . Halle el lugar geométrico de los puntos $M$ .

44 Demuestre que a partir de un conjunto de diez números distintos de dos cifras, siempre es posible encontrar dos subconjuntos disjuntos cuyos miembros tengan la misma suma.

46 Los números $1, 2,\cdots, 16$ están escritos en una matriz cuadrada de $4\times 4$ de modo que la suma de los números en cada fila, cada columna y cada diagonal es la misma y, además, los números $1$ y $16$ están en esquinas opuestas. Demuestre que la suma de dos números cualesquiera simétricos con respecto al centro del cuadrado es igual a $17$ .