g7.1.6 Sea $\vartriangle ABC$ un triángulo con $AB > AC$, su incírculo es tangente a $BC$ en $D$. Sea $DE$ un diámetro del incírculo, y sea $F$ la intersección entre la recta $AE$ y el lado $BC$. Encuentra la razón entre las áreas de $\vartriangle DEF$ y $\vartriangle ABC$ en términos de las tres longitudes de los lados de $\vartriangle ABC$.

20 Sea $D$ un punto sobre la mediana $AM$ de un triángulo $ABC$ . Las tangentes a la circunferencia circunscrita del triángulo $BDC$ en los puntos $B$ y $C$ se cortan en el punto $K$ . Demuestre que $DD'$ es paralela a $AK$ , donde $D'$ es el conjugado isogonal de $D$ con respecto a $ABC$ .

19 Dado un cuadrilátero cíclico $ABCD$ . Una circunferencia arbitraria que pasa por $C$ y $D$ corta a $AC,BC$ en los puntos $X,Y$ respectivamente. Halle el lugar geométrico de los puntos comunes de las circunferencias $CAY$ y $CBX$ .

23 Una elipse $\Gamma_1$ con focos en los puntos medios de los lados $AB$ y $AC$ de un triángulo $ABC$ pasa por $A$ , y una elipse $\Gamma_2$ con focos en los puntos medios de $AC$ y $BC$ pasa por $C$ . Demuestre que los puntos comunes de estas elipses y el ortocentro del triángulo $ABC$ son colineales.

4 Sea $n$ un entero positivo y sean $P,Q$ polinomios con coeficientes reales tales que $P(x)=x^nQ(\frac{1}{x})$ y $P(x) \geq Q(x)$ para todo número real $x$ . Demuestre que $P(x)=Q(x)$ para todo número real $x$ .

22 Sea $ABC$ un triángulo escaleno, sea $M$ el punto medio de $BC,P$ , punto común de $AM$ y la circunferencia inscrita de $ABC$ más cercano a $A$ , y sea $Q$ el punto común de la semirrecta $AM$ y la circunferencia exinscrita más alejado de $A$ . La tangente a la circunferencia inscrita en $P$ corta a $BC$ en el punto $X$ , y la tangente a la circunferencia exinscrita en $Q$ corta a $BC$ en $Y$ . Demuestre que $MX=MY$ .

8.3 Las alturas de un paralelogramo son mayores que $1$ . ¿Se deduce de esto que el cuadrado unitario puede ser cubierto por este paralelogramo?

8.4 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo, $O$ su circuncentro, $BM$ una mediana y $BH$ una altura. Las circunferencias $AOB$ y $BHC$ se cortan por segunda vez en el punto $E$ , y las circunferencias $AHB$ y $BOC$ se cortan en el punto $F$ . Demuestre que $ME = MF$ .

8.5 La mediana $CM$ y la altura $AH$ de un triángulo acutángulo $ABC$ se cortan en el punto $O$ . Un punto $D$ está fuera del triángulo de tal manera que $AOCD$ es un paralelogramo. Halle la longitud de $BD$ , si $MO= a$ , $OC = b$ .

8.6 ¿Para cuáles $n$ puede el plano ser embaldosado con figuras congruentes limitadas por $n$ arcos de circunferencias?