2 Sean $ A, B, D, E, F, C $ seis puntos sobre un círculo (en ese orden) que satisfacen $ AB=AC $ . Sean $ P=AD \cap BE, R=AF \cap CE, Q=BF \cap CD, S=AD \cap BF, T=AF \cap CD $ . Sea $ K $ un punto sobre $ ST $ que satisface $ \angle QKS=\angle ECA $ . Demuestre que $ \frac{SK}{KT}=\frac{PQ}{QR} $

2 Dados $30$ estudiantes tales que cada estudiante tiene a lo sumo $5$ amigos y para cada $5$ estudiantes hay un par de estudiantes que no son amigos, determine el máximo $k$ tal que para todas las configuraciones posibles de este tipo, existen $k$ estudiantes que no son amigos entre sí.

2 Para el entero $n>1$ , defina $D(n)=\{ a-b\mid ab=n, a>b>0, a,b\in\mathbb{N} \}$ . Demuestre que para cualquier entero $k>1$ , existen enteros positivos dos a dos distintos $n_1,n_2,\ldots,n_k$ tales que $n_1,\ldots,n_k>1$ y $|D(n_1)\cap D(n_2)\cap\cdots\cap D(n_k)|\geq 2$ .

3 Sea $n \geq 5$ un entero positivo y sean $A$ y $B$ conjuntos de enteros que satisfacen las condiciones siguientes: i) $|A| = n$ , $|B| = m$ y $A$ es un subconjunto de $B$ ii) Para cualesquiera $x,y \in B$ distintos, $x+y \in B$ si y solo si $x,y \in A$ Determine el valor mínimo de $m$ .

3 Demuestre que: existe una única función $f:\mathbb{N^*}\to\mathbb{N^*}$ que satisface: i) $f(1)=f(2)=1$ ; ii ) $f(n)=f(f(n-1))+f(n-f(n-1))$ para $n\ge 3$ . Para cada entero $m\ge 2$ , halle el valor de $f(2^m)$ .

1 Sea $n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_t^{a_t}$ la factorización en primos de $n$ . Defina $\omega(n)=t$ y $\Omega(n)=a_1+a_2+\ldots+a_t$ . Demuestre o refute: para cualquier entero positivo fijo $k$ y reales positivos $\alpha,\beta$ , existe un entero positivo $n>1$ tal que i) $\frac{\omega(n+k)}{\omega(n)}>\alpha$ ii) $\frac{\Omega(n+k)}{\Omega(n)}<\beta$ .

5 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo. Demuestre que existe un cuadrado $A'B'C'D'$ (los vértices pueden estar ordenados en el sentido de las agujas del reloj o en sentido contrario) tal que $A \not = A', B \not = B', C \not = C', D \not = D'$ y $AA',BB',CC',DD'$ son todos concurrentes.

3 Sea $p$ un primo impar y $a_1, a_2,...,a_p$ enteros. Demuestre que las dos condiciones siguientes son equivalentes: 1) Existe un polinomio $P(x)$ de grado $\leq \frac{p-1}{2}$ tal que $P(i) \equiv a_i \pmod p$ para todo $1 \leq i \leq p$ 2) Para cualquier número natural $d \leq \frac{p-1}{2}$ , $$ \sum_{i=1}^p (a_{i+d} - a_i )^2 \equiv 0 \pmod p$$ donde los índices se toman $\pmod p$

4 Sea $n \geq 2$ un número natural. Para cualesquiera dos permutaciones de $(1,2,\cdots,n)$ , digamos $\alpha = (a_1,a_2,\cdots,a_n)$ y $\beta = (b_1,b_2,\cdots,b_n),$ si existe un número natural $k \leq n$ tal que $$b_i = \begin{cases} a_{k+1-i}, & \text{ }1 \leq i \leq k; \\ a_i, & \text{} k < i \leq n, \end{cases}$$ llamamos a $\alpha$ una permutación amigable de $\beta$ . Demuestre que es posible enumerar todas las permutaciones posibles de $(1,2,\cdots,n)$ como $P_1,P_2,\cdots,P_m$ de modo que para todo $i = 1,2,\cdots,m$ , $P_{i+1}$ sea una permutación amigable de $P_i$ , donde $m = n!$ y $P_{m+1} = P_1$ .

1 Sean $a_1,a_2,\cdots, a_{31} ;b_1,b_2, \cdots, b_{31}$ enteros positivos tales que $a_1< a_2<\cdots< a_{31}\leq2015$ , $ b_1< b_2<\cdots<b_{31}\leq2015$ y $a_1+a_2+\cdots+a_{31}=b_1+b_2+\cdots+b_{31}.$ Halle el valor máximo de $S=|a_1-b_1|+|a_2-b_2|+\cdots+|a_{31}-b_{31}|.$