57 Para números positivos $a, b, c$ defina $A = \frac{(a + b + c)}{3}$ , $G = \sqrt[3]{abc}$ , $H = \frac{3}{(a^{-1} + b^{-1} + c^{-1})}.$ Demuestre que \[ \left( \frac AG \right)^3 \geq \frac 14 + \frac 34 \cdot \frac AH.\] Amir

61 Hay un tablero con $2n \cdot 2n \ (= 4n^2)$ casillas y $4n^2-1$ tarjetas numeradas con números naturales distintos. Estas tarjetas se colocan una a una sobre cada una de las casillas. Una casilla queda vacía. Podemos mover una tarjeta a una casilla vacía desde una de las casillas adyacentes (dos casillas son adyacentes si tienen un lado común). ¿Es posible intercambiar dos tarjetas situadas en dos casillas adyacentes de una columna (o de una fila) en un número finito de movimientos? Amir

72 En una escuela se imparten seis cursos distintos: matemáticas, física, biología, música, historia, geografía. Se pidió a los estudiantes que ordenaran estos cursos según sus preferencias, permitiéndose preferencias iguales. Resultó que: (i) todos los estudiantes ubicaron a matemáticas entre los cursos más preferidos; (ii) ningún estudiante ubicó a música entre los menos preferidos; (iii) todos los estudiantes prefirieron historia a geografía y física a biología; y (iv) no hubo dos ordenamientos iguales. Halle el mayor valor posible para el número de estudiantes de esta escuela. Amir

73 Sea $\{A_n | n = 1, 2, \cdots \} $ un conjunto de puntos en el plano tal que, para cada $n$ , el disco con centro $A_n$ y radio $2^n$ no contiene ningún otro punto $A_j$ . Para cualesquiera números reales positivos dados $a < b$ y $R$ , demuestre que existe un subconjunto $G$ del plano que satisface: (i) el área de $G$ es mayor o igual que $R$ ; (ii) para cada punto $P$ en $G$ , $a < \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{|A_nP|} <b.$ Amir

71 Sean $P_1(x, y)$ y $P_2(x, y)$ dos polinomios relativamente primos con coeficientes complejos. Sean $Q(x, y)$ y $R(x, y)$ polinomios con coeficientes complejos, cada uno de grado no mayor que $d$ . Demuestre que existen dos enteros $A_1, A_2$ no simultáneamente nulos con $|A_i| \leq d + 1 \ (i = 1, 2)$ y tales que el polinomio $A_1P_1(x, y) + A_2P_2(x, y)$ sea coprimo con $Q(x, y)$ y $R(x, y).$ Amir

68 Demuestre que los números $\tan \left(\frac{r \pi }{15}\right)$ , donde $r$ es un entero positivo menor que $15$ y relativamente primo con $15$ , satisfacen \[x^8 - 92x^6 + 134x^4 - 28x^2 + 1 = 0.\] Amir

74 Sea $S = \{\frac{\pi^n}{1992^m} | m,n \in \mathbb Z \}.$ Demuestre que todo número real $x \geq 0$ es un punto de acumulación de $S.$ Amir

70 Sean dos círculos $A$ y $B$ con radios desiguales $r$ y $R$ , respectivamente, tangentes internamente en el punto $A_0$ . Si existe una sucesión de círculos distintos $(C_n)$ tal que cada círculo es tangente tanto a $A$ como a $B$ , y cada círculo $C_{n+1}$ toca al círculo $C_{n}$ en el punto $A_n$ , demuestre que \[\sum_{n=1}^{\infty} |A_{n+1}A_n| < \frac{4 \pi Rr}{R+r}.\] Amir

Sea $n$ un entero positivo. Halle todos los polinomios $Q(x)$ con coeficientes enteros tales que el grado de $Q(x)$ sea menor que $n$ y exista un entero $m\geq 1$ para el cual \[x^n-1\mid Q(x)^m-1\]

N3 Dado un número natural $n\ge 3$ , determine todas las sucesiones estrictamente crecientes $a_1<a_2<\cdots<a_n$ tales que $\text{gcd}(a_1,a_2)=1$ y, para cualquier par de números naturales $(k,m)$ que satisfaga $n\ge m\ge 3$ , $m\ge k$ , $$\frac{a_1+a_2+\cdots +a_m}{a_k}$$ es un entero positivo.