3 P y Q son 2 puntos en la región limitada por 2 rayos, e y f, que parten de un punto O. Describa cómo construir, solo con una regla y un compás, un triángulo isósceles ABC, tal que su base AB esté sobre el rayo e, el punto C esté sobre el rayo f, P esté sobre AC, y Q sobre BC.

1 Si los números naturales $ x$ , $ y$ , $ p$ , $ n$ , $ k$ con $ n > 1$ impar y $ p$ un primo impar satisfacen $ x^n + y^n = p^k$ , demuestre que $ n$ es una potencia de $ p$ .

2 Si $ x$ , $ y$ , $ z$ son números reales no negativos con suma $ 1$ , halle el valor máximo de $ S = x^2(y + z) + y^2(z + x) + z^2(x + y)$ y de $ C = x^2y + y^2z + z^2x$ .

1 Un punto $ P$ en el interior de una circunferencia es tal que hay tres cuerdas de la misma longitud que pasan por $ P$ . Demuestre que $ P$ es el centro de la circunferencia.

1 Demuestre que: $ \sum_{i=1}^{n^2} \lfloor \frac{i}{3} \rfloor= \frac{n^2(n^2-1)}{6}$ Para todo $ n \in N$ .

2 Un bloque de tamaño $ a\times b\times c$ está compuesto de bloques de dominó de $ 1\times 1\times 2$ . Suponiendo que cada una de las tres direcciones posibles de los bloques de dominó ocurre el mismo número de veces, ¿cuáles son los valores posibles de $ a$ , $ b$ , $ c$ ?

3 Un grupo de $ 100$ estudiantes numerados del $ 1$ al $ 100$ juega el siguiente juego. El juez escribe los números $ 1$ , $ 2$ , $ \ldots$ , $ 100$ en $ 100$ tarjetas, las coloca sobre la mesa en un orden arbitrario y las pone boca abajo. Los estudiantes del $ 1$ al $ 100$ entran a la sala uno por uno, y cada uno de ellos da vuelta $ 50$ de las tarjetas. Si entre las tarjetas volteadas por el estudiante $ j$ está la tarjeta $ j$ , gana un punto. Luego las tarjetas volteadas se ponen boca abajo nuevamente. Los estudiantes no pueden comunicarse durante el juego ni pueden ver las tarjetas volteadas por otros estudiantes. El grupo gana el juego si cada estudiante gana un punto. ¿Existe una estrategia que le dé al grupo más de $ 1$ por ciento de probabilidad de ganar?

El saltamontes Gerald y sus 2020 amigos juegan al salto de la rana en un plano de la siguiente manera. En cada turno Gerald salta por encima de un amigo de modo que su punto original y su punto final son simétricos con respecto a este amigo. Gerald quiere realizar una serie de saltos de modo que salte por encima de cada amigo exactamente una vez. Digamos que un punto es alcanzable si Gerald puede terminar el salto 2020 en él. ¿Cuál es el número máximo $N{}$ tal que para alguna disposición inicial de los saltamontes hay exactamente $N{}$ puntos alcanzables? Mikhail Svyatlovskiy

¿Cuál es el mínimo $k{}$ para el cual entre cualesquiera tres números reales no nulos hay dos números $a{}$ y $b{}$ tales que o bien $|a-b|\leqslant k$ o bien $|1/a-1/b|\leqslant k$ ? Maxim Didin

Sea $ABCD$ un paralelogramo y sea $P{}$ un punto en su interior tal que $\angle PDA= \angle PBA$ . Sea $\omega_1$ la circunferencia exinscrita de $PAB$ opuesta al vértice $A{}$ . Sea $\omega_2$ la circunferencia inscrita del triángulo $PCD$ . Demuestre que una de las tangentes comunes de $\omega_1$ y $\omega_2$ es paralela a $AD$ . Ivan Frolov