Demuestre que: (1) En el plano complejo, toda recta (excepto el eje real) que pasa por el origen tiene a lo sumo un punto ${z}$ que satisface $$\frac {1+z^{23}}{z^{64}}\in\mathbb R.$$ (2) Para cualquier número complejo no nulo ${a}$ y cualquier número real $\theta$ , la ecuación $1+z^{23}+az^{64}=0$ tiene raíces en $$S_{\theta}=\left\{ z\in\mathbb C\mid\operatorname{Re}(ze^{-i\theta })\geqslant |z|\cos\frac{\pi}{20}\right\}.$$ Propuesto por Yijun Yao

11 Un niño en el punto $A$ quiere obtener agua de un lago circular y llevarla al punto $B$. Encuentra el punto $C$ en el lago tal que la distancia que camina el niño sea la más corta posible, dado que la línea $AB$ y el lago son exteriores entre sí. Amir

2. Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico. Sea $H_{1}$ el ortocentro del triángulo $ABC$. El punto $A_{1}$ es la imagen de $A$ tras reflexión respecto a $BH_{1}$. El punto $B_{1}$ es la imagen de $B$ tras reflexión respecto a $AH_{1}$. Sea $O_{1}$ el circuncentro de $(A_{1}B_{1}H_{1})$. Sea $H_{2}$ el ortocentro del triángulo $ABD$. El punto $A_{2}$ es la imagen de $A$ tras reflexión respecto a $BH_{2}$. El punto $B_{2}$ es la imagen de $B$ tras reflexión respecto a $AH_{2}$. Sea $O_{2}$ el circuncentro de $(A_{2}B_{2}H_{2})$. Denotemos por $\ell_{AB}$ la recta que pasa por $O_{1}$ y $O_{2}$. $\ell_{AD}$, $\ell_{BC}$, $\ell_{CD}$ se definen de manera análoga. Sea $M=\ell_{AB} \cap \ell_{BC}$, $N=\ell_{BC} \cap \ell_{CD}$, $P=\ell_{CD} \cap \ell_{AD}$, $Q=\ell_{AD} \cap \ell_{AB}$. Demuestra que $MNPQ$ es cíclico.

19 Un triángulo $ABC$ , su circunferencia circunscrita y su incentro $I$ están dibujados en el plano. Construya el circuncentro de $ABC$ usando solo una regla.

Sea $I$ el incentro de $\triangle ABC$ y sea $P$ un punto tal que $PI$ es perpendicular a $BC$ y $PA$ es paralela a $BC$ . Sea la recta paralela a $BC$ que es tangente a la circunferencia inscrita de $\triangle ABC$ , e interseca a $AB$ y a $AC$ en los puntos $Q$ y $R$ respectivamente. Demuestre que $\angle BPQ = \angle CPR$ .

17 ¿De cuántas maneras se pueden ordenar $1, 2,\ldots, 2n$ en un arreglo rectangular de $2 \times n$ $\left(\begin{array}{cccc}a_1& a_2 & \cdots & a_n\\b_1& b_2 & \cdots & b_n\end{array}\right)$ tal que: (i) $a_1 < a_2 < \cdots < a_n,$ (ii) $b_1 < b_2 <\cdots < b_n,$ (iii) $a_1 < b_1, a_2 < b_2, \ldots, a_n < b_n \ ?$ Amir

15 Encuentra todas las posibles sucesiones finitas $\{n_0, n_1, n_2, \ldots, n_k \}$ de enteros tales que para cada $i$, $i$ aparece en la sucesión $n_i$ veces $(0 \leq i \leq k).$ Amir

4 Sea $k \in \mathbb{N},$ $S_k = \{(a, b) | a, b = 1, 2, \ldots, k \}.$ Dos elementos cualesquiera $(a, b)$ , $(c, d)$ $\in S_k$ se llaman «indistinguibles» en $S_k$ si $a - c \equiv 0$ o $\pm 1 \pmod{k}$ y $b - d \equiv 0$ o $\pm 1 \pmod{k}$ ; en caso contrario, los llamamos «distinguibles». Por ejemplo, $(1, 1)$ y $(2, 5)$ son indistinguibles en $S_5$ . Consideremos el subconjunto $A$ de $S_k$ tal que los elementos de $A$ son distinguibles dos a dos. Sea $r_k$ el número máximo posible de elementos de $A$ . (i) Halle $r_5$ . (ii) Halle $r_7$ . (iii) Halle $r_k$ para $k \in \mathbb{N}$ .

12 Las bisectrices $AA_1, CC_1$ de un triángulo $ABC$ con $\angle B = 60^{\circ}$ se encuentran en el punto $I$ . Las circunferencias circunscritas de los triángulos $ABC, A_1IC_1$ se encuentran en el punto $P$ . Demuestre que la recta $PI$ biseca el lado $AC$ .

3 Una sucesión de enteros $a_0, a_1 …$ se llama kawaii si $a_0 =0, a_1=1,$ y $$(a_{n+2}-3a_{n+1}+2a_n)(a_{n+2}-4a_{n+1}+3a_n)=0$$ para todos los enteros $n \geq 0$ . Un entero se llama kawaii si pertenece a alguna sucesión kawaii. Suponga que dos enteros consecutivos $m$ y $m+1$ son ambos kawaii (no necesariamente pertenecientes a la misma sucesión kawaii). Demuestre que $m$ es divisible por $3,$ y que $m/3$ también es kawaii.