4 $22$ matemáticos se reúnen. Cada matemático tiene al menos $3$ amigos (la amistad es mutua). Y cada matemático puede transmitir su información a cualquier matemático mediante la transferencia entre amigos. ¿Es posible dividir a estos $22$ matemáticos en grupos de $2$ personas (es decir, dos personas en cada grupo, un total de $11$ grupos), de modo que los matemáticos de cada grupo sean amigos? redacción original en chino 仃22位数学家一起开会.每位数学家都至少有3个朋友(朋友是相互的).而且每 位数学家都可以通过朋友之间的传递.将门已的资料传给任意一位数学家.问：是否一定可 以将这22位数学家两两分组(即每组两人,共11组),使得每组的数学家都是朋友？

30 Sean $u_1, u_2, \ldots, u_n, v_1, v_2, \ldots, v_n$ números reales. Demuestra que \[1+ \sum_{i=1}^n (u_i+v_i)^2 \leq \frac 43 \Biggr( 1+ \sum_{i=1}^n u_i^2 \Biggl) \Biggr( 1+ \sum_{i=1}^n v_i^2 \Biggl) .\] Amir

31 Demuestra que para cualquier triángulo con lados $a, b, c$ y área $P$ se cumple la siguiente desigualdad: \[P \leq \frac{\sqrt 3}{4} (abc)^{2/3}.\] Encuentra todos los triángulos para los cuales se da la igualdad. Amir

C2 Fija enteros $n\ge k\ge 2$. Llamamos a una colección de monedas de valores enteros $n$-diversa si ningún valor aparece en ella más de $n$ veces. Dada tal colección, un número $S$ es $n$-alcanzable si esa colección contiene $n$ monedas cuya suma de valores es igual a $S$. Encuentra el menor entero positivo $D$ tal que para cualquier colección $n$-diversa de $D$ monedas hay al menos $k$ números que son $n$-alcanzables. Propuesto por Alexandar Ivanov, Bulgaria.

3 Sea $ABC$ un triángulo. Trace circunferencias $\omega_A$ , $\omega_B$ y $\omega_C$ tales que $\omega_A$ es tangente a $AB$ y $AC$ , y $\omega_B$ y $\omega_C$ se definen de manera similar. Sea $P_A$ el centro de similitud interna de $\omega_B$ y $\omega_C$ . Defina $P_B$ y $P_C$ de manera similar. Demuestre que $AP_A$ , $BP_B$ y $CP_C$ son concurrentes. Tom Lu.

55 A través de un punto $O$ de la diagonal $BD$ de un paralelogramo $ABCD$ , se trazan los segmentos $MN$ paralelo a $AB$ , y $PQ$ paralelo a $AD$ , con $M$ sobre $AD$ , y $Q$ sobre $AB$ . Demuestre que las diagonales $AO,BP,DN$ (prolongadas si es necesario) son concurrentes.

56 Las cuatro circunferencias circunscritas de las cuatro caras de un tetraedro tienen radios iguales. Demuestre que las cuatro caras del tetraedro son triángulos congruentes. Amir

2. Demuestre que para todo $2\le n \in \mathbb{N}$ existen enteros positivos $a_1,a_2,\cdots,a_n$ tales que $\forall i\neq j: \text{gcd}(a_i,a_j) = 1$ y $\forall i: a_i \ge 1402$ y se cumple la relación dada. $$[\frac{a_1}{a_2}]+[\frac{a_2}{a_3}]+\cdots+[\frac{a_n}{a_1}] = [\frac{a_2}{a_1}]+[\frac{a_3}{a_2}]+\cdots+[\frac{a_1}{a_n}]$$ Parsia--

2 Sea $p$ un primo y sean $a$ y $b$ enteros positivos menores que $p$ . Demuestre que \[\sum_{k=1}^b (-1)^{\lfloor (a-1)k/p\rfloor + \lfloor ak/p\rfloor} \geq 0.\] Daniel Zhu

1 Sea $n$ un entero positivo. Demuestre que se pueden pintar los coeficientes no nulos del polinomio \[ f(x_1, x_2, \dots, x_n) = \prod_{k=0}^n (x_1 + x_2 + \dotsb + x_n - k) \] con $2^n - 1$ colores de modo que los coeficientes de cada color tengan suma $0$ , y cada color se use al menos una vez. Carlos Rodriguez