2 Halle todos los enteros positivos $a$ , $b$ , $c$ y $p$ , donde $p$ es un número primo, tales que $73p^2 + 6 = 9a^2 + 17b^2 + 17c^2$ .

3 Sea $\triangle ABC$ un triángulo rectángulo con $\angle BAC = 90^{\circ}$ y sea $E$ el pie de la perpendicular trazada desde $A$ hasta $BC$ . Sea $Z \ne A$ un punto de la recta $AB$ con $AB = BZ$ . Sea $(c)$ la circunferencia circunscrita del triángulo $\triangle AEZ$ . Sea $D$ el segundo punto de intersección de $(c)$ con $ZC$ y sea $F$ el punto antidiametral de $D$ con respecto a $(c)$ . Sea $P$ el punto de intersección de las rectas $FE$ y $CZ$ . Si la tangente a $(c)$ en $Z$ corta a $PA$ en $T$ , demuestre que los puntos $T$ , $E$ , $B$ , $Z$ son concíclicos. Propuesto por Theoklitos Parayiou, Chipre

4 Halle todos los números primos $p$ tales que $(x + y)^{19} - x^{19} - y^{19}$ es un múltiplo de $p$ para cualesquiera enteros positivos $x$ , $y$ .

5 El entero positivo $k$ y el conjunto $A$ de enteros distintos de $1$ a $3k$ inclusive son tales que no existen $a$ , $b$ , $c$ distintos en $A$ que satisfagan $2b = a + c$ . Los números de $A$ en el intervalo $[1, k]$ se llamarán pequeños ; los de $[k + 1, 2k]$ , medianos y los de $[2k + 1, 3k]$ , grandes . ¿Es siempre cierto que no existen enteros positivos $x$ y $d$ tales que si $x$ , $x + d$ y $x + 2d$ se dividen por $3k$ , entonces los restos pertenecen a $A$ y los de $x$ y $x + d$ son diferentes y son: a) pequeños? $\hspace{1.5px}$ b) medianos? $\hspace{1.5px}$ c) grandes? (En este problema suponemos que si un múltiplo de $3k$ se divide por $3k$ , entonces el resto es $3k$ en lugar de $0$ .)

g1 Sea $ABC$ un triángulo con la mediana $CD$. El punto $E$ está en el lado $BC$ tal que $EC=\frac13 BC$ y $\angle ABC=20^o$. $AE$ intersecta a $CD$ en el punto $O$ y $\angle DAO = \angle ADO$. Encuentra la medida del ángulo $\angle ACB$.

C2 Considere un 2n-ágono regular $ P$ , $A_1,A_2,\cdots ,A_{2n}$ en el plano, donde $n$ es un entero positivo . Decimos que un punto $S$ sobre uno de los lados de $P$ puede verse desde un punto $E$ exterior a $P$ si el segmento $SE$ no contiene otros puntos que se encuentren sobre los lados de $P$ excepto $S$ . Coloreamos los lados de $P$ con 3 colores diferentes (ignoren los vértices de $P$ , los consideramos incoloros), de modo que cada lado esté coloreado con exactamente un color y cada color se use al menos una vez . Además, desde todo punto del plano exterior a $P$ pueden verse puntos de a lo sumo 2 colores diferentes de $P$ . Halle el número de tales coloraciones distintas de $P$ (dos coloraciones se consideran distintas si al menos uno de los lados está coloreado de manera diferente). Propuesto por Viktor Simjanoski, Macedonia JBMO 2017, Q4

C3 Tenemos dos montones con $2000$ y $2017$ monedas respectivamente. Ann y Bob se turnan para realizar los siguientes movimientos: el jugador a quien le toca mover elige un montón con al menos dos monedas, retira de ese montón $t$ monedas para algún $2\le t \le 4$ y añade $1$ moneda al otro montón. Los jugadores pueden elegir un $t$ diferente en cada turno, y el jugador que no puede realizar un movimiento pierde. Si Ann juega primero, determine qué jugador tiene una estrategia ganadora.

G2 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo tal que $AB$ es el lado más corto del triángulo. Sea $D$ el punto medio del lado $AB$ y $P$ un punto interior del triángulo tal que $\angle CAP = \angle CBP = \angle ACB$ . Denote por M y $N$ los pies de las perpendiculares trazadas desde $P$ hasta $BC$ y $AC$ , respectivamente. Sea $p$ la recta que pasa por $ M$ paralela a $AC$ y $q$ la recta que pasa por $N$ paralela a $BC$ . Si $p$ y $q$ se intersecan en $K$ , demuestre que $D$ es el circuncentro del triángulo $MNK$ .

G4 Sea $ABC $ un triángulo acutángulo tal que $AB\neq AC$ , con circunferencia circunscrita $ \Gamma$ y circuncentro $O$ . Sea $M$ el punto medio de $BC$ y $D$ un punto sobre $ \Gamma$ tal que $AD \perp BC$ . Sea $T$ un punto tal que $BDCT$ es un paralelogramo y $Q$ un punto en el mismo lado de $BC$ que $A$ tal que $\angle{BQM}=\angle{BCA}$ y $\angle{CQM}=\angle{CBA}$ . Sea la recta $AO$ que interseca a $ \Gamma$ en $E$ $(E\neq A)$ y sea la circunferencia circunscrita de $\triangle ETQ$ que interseca a $ \Gamma$ en el punto $X\neq E$ . Demuestre que los puntos $A,M$ y $X$ son colineales.

g2.1.4 En el triángulo $\vartriangle ABC$, $D$ es el punto medio de $BC$. Los puntos $E$ y $F$ se eligen sobre el lado $AC$ de modo que $AF = FE = EC$. Sea $AD$ que interseca a $BE$ y $BF$ en $G$ y $H$, respectivamente. Encuentra la razón de las áreas de $\vartriangle BGH$ y $\vartriangle ABC$.